题目内容
探索研究已知二次函数y=x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
| x | … | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | … |
| y | … | 0 | -5 | -8 | -9 | -8 | … |
（2）若A（m，y1），B（m+4，y2）两点都在该函数的图象上．
①试比较y1与y2的大小；
②若A、B两点位于x轴的下方，点P为函数图象的对称轴与x轴的交点，点Q为函数图象上的一点，解答以下问题：
（Ⅰ）直接写出实数m的变化范围是
（Ⅱ）是否存在实数m，使得四边形APBQ为平行四边形？若存在，请求出m的值，并写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）任取两点坐标，利用待定系数法求函数解析式，根据表格中提供的数据画出图象；
（2）①求出y1-y2的表达式，然再分大于0，等于0，小于0三种情况讨论；
②（Ⅰ）先求出二次函数图象与x轴的交点的横坐标，再根据交点在x轴的下方，令m大于左边点的横坐标，m+4小于右边点的横坐标，解不等式即可；
（Ⅱ）先求出AB与x轴平行，所以分（i）AB为平行四边形的边时，PQ与AB平行，此时点Q就是二次函数与x轴的交点，（ii）AB为平行四边形的对角线，根据平行四边形的对角线互相平分的性质，PQ平分AB，所以点Q就是二次函数的顶点，然后分别讨论求解．
（2）①求出y1-y2的表达式，然再分大于0，等于0，小于0三种情况讨论；
②（Ⅰ）先求出二次函数图象与x轴的交点的横坐标，再根据交点在x轴的下方，令m大于左边点的横坐标，m+4小于右边点的横坐标，解不等式即可；
（Ⅱ）先求出AB与x轴平行，所以分（i）AB为平行四边形的边时，PQ与AB平行，此时点Q就是二次函数与x轴的交点，（ii）AB为平行四边形的对角线，根据平行四边形的对角线互相平分的性质，PQ平分AB，所以点Q就是二次函数的顶点，然后分别讨论求解．
解答：
解：（1）根据题意，
，
解得
，
∴该二次函数解析式为y=x2-4x-5，图象如右；
（2）①y1-y2=m2-4m-5-（m+4）2+4（m+4）+5=-8m，
∴当m＞0时，-8m＜0，y1＜y2，
当m=0时，-8m=0，y1=y2，
当m＜0时，-8m＞0，y1＞y2；
②（Ⅰ）当y=0时，x2-4x-5=0，
解得x1=-1，x2=5，
∴二次函数与x轴的交点坐标为（-1，0），（5，0），
∵A、B两点位于x轴的下方，
∴m＞-1，m+4＜5，
解得-1＜m＜1；
（Ⅱ）∵二次函数对称轴为x=-
=2，
AB=|
|=2，
∴点A、B关于对称轴对称，
∴AB∥x轴，
（i）若AB为平行四边形的边，则PQ∥AB，
∴点Q为二次函数图象与x轴的交点，此时PQ=2-（-1）=3，或PQ=5-2=3，
而AB=m+4-m=4，
AB≠PQ，
∴AB不能是平行四边形的边；
（ii）若AB为平行四边形的对角线，根据AB关于对称轴对称，得
点Q为二次函数顶点，
又x=2时，y=22-4×2-5=-9，
∴点Q坐标是（2，-9），
根据平行四边形对角线互相平分，点A、B的纵坐标是
=-4.5，
此时，m2-4m-5=-4.5，
解得m=
，或m=
（舍去）．
又∵此时AB∥x轴，
∴y1=y2，
∴-8m=0，
解得m=0，
∵m=
≠0，
∴不存在实数m，使得四边形APBQ为平行四边形．
解：（1）根据题意，
|
解得
|
∴该二次函数解析式为y=x2-4x-5，图象如右；
（2）①y1-y2=m2-4m-5-（m+4）2+4（m+4）+5=-8m，
∴当m＞0时，-8m＜0，y1＜y2，
当m=0时，-8m=0，y1=y2，
当m＜0时，-8m＞0，y1＞y2；
②（Ⅰ）当y=0时，x2-4x-5=0，
解得x1=-1，x2=5，
∴二次函数与x轴的交点坐标为（-1，0），（5，0），
∵A、B两点位于x轴的下方，
∴m＞-1，m+4＜5，
解得-1＜m＜1；
（Ⅱ）∵二次函数对称轴为x=-
| -4 |
| 2×1 |
AB=|
| m+4-m |
| 2 |
∴点A、B关于对称轴对称，
∴AB∥x轴，
（i）若AB为平行四边形的边，则PQ∥AB，
∴点Q为二次函数图象与x轴的交点，此时PQ=2-（-1）=3，或PQ=5-2=3，
而AB=m+4-m=4，
AB≠PQ，
∴AB不能是平行四边形的边；
（ii）若AB为平行四边形的对角线，根据AB关于对称轴对称，得
点Q为二次函数顶点，
又x=2时，y=22-4×2-5=-9，
∴点Q坐标是（2，-9），
根据平行四边形对角线互相平分，点A、B的纵坐标是
| -9 |
| 2 |
此时，m2-4m-5=-4.5，
解得m=
4-3
| ||
| 2 |
4+3
| ||
| 2 |
又∵此时AB∥x轴，
∴y1=y2，
∴-8m=0，
解得m=0，
∵m=
4-3
| ||
| 2 |
∴不存在实数m，使得四边形APBQ为平行四边形．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及的知识点有待定系数法求函数解析式，两点的距离公式，平行四边形的性质，解一元二次方程，综合性较强，难度较大．
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已知二次函数y=x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
| x | … | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | … |
| y | … | 0 | -5 | -8 | -9 | -8 | … |
（2）若A（m，y1），B（m+4，y2）两点都在该函数的图象上．
①试比较y1与y2的大小；
②若A、B两点位于x轴的下方，点P为函数图象的对称轴与x轴的交点，点Q为函数图象上的一点，解答以下问题：
（Ⅰ）直接写出实数m的变化范围是______；
（Ⅱ）是否存在实数m，使得四边形APBQ为平行四边形？若存在，请求出m的值，并写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
探索研究
已知二次函数y=x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
（1）求该二次函数的关系式，并在给定的坐标系xOy中画出函数的图象；
（2）若A（m，y1），B（m+4，y2）两点都在该函数的图象上．
①试比较y1与y2的大小；
②若A、B两点位于x轴的下方，点P为函数图象的对称轴与x轴的交点，点Q为函数图象上的一点，解答以下问题：
（Ⅰ）直接写出实数m的变化范围是______；
（Ⅱ）是否存在实数m，使得四边形APBQ为平行四边形？若存在，请求出m的值，并写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
已知二次函数y=x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
| x | … | -1 | 1 | 2 | 3 | … | |
| y | … | -5 | -8 | -9 | -8 | … |
（2）若A（m，y1），B（m+4，y2）两点都在该函数的图象上．
①试比较y1与y2的大小；
②若A、B两点位于x轴的下方，点P为函数图象的对称轴与x轴的交点，点Q为函数图象上的一点，解答以下问题：
（Ⅰ）直接写出实数m的变化范围是______；
（Ⅱ）是否存在实数m，使得四边形APBQ为平行四边形？若存在，请求出m的值，并写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．