题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,A (16,0)、C (0,8),四边形OABC是矩形,D、E分别是OA、BC边上的点,沿着DE折叠矩形,点A恰好落往y轴上的点C处,点B落在点B'处。
(1) 求D、E两点的坐标;
(2) 反比例函数y = (k >0) 在第一象限的图像经过E点,判断B′是否在这个反比例函数的图像上? 并说明理由;
(3) 点F是 (2) 中反比例函数的图像与原矩形的AB边的交点,点G在平面直角坐标系中,以点D、E、F、G为顶点的四边形是平行四边形,求G点的坐标.(直接写出答案)
【答案】(1)E(10,8)(2)不在;(3)G1(20,13)、G2(12,-3)、G3(0,3)
【解析】试题分析:(1)设OD=m,则CD=DA=16-m,在Rt△COD中,由勾股定理可得m=6,即可得D的坐标,再根据矩形的性质,可得CE=CD=10,可得E的坐标;
(2)过B′作B′M⊥BC于M,易得B′M与CM的长,进而可得k的值,根据题意,可得答案;
(3)根据题意,分三种情况讨论,可得在平面直角坐标系中存在G1、G2、G3的坐标,进而可得答案.
试题解析:(1)OA=16,OC=8,
设OD=m,则CD=DA=16-m
在Rt△COD中,∠COD=90°
∵CD2=OC2+OD2
∴(16-m)2=82+m2
解得m=6,
∴D(6,0)
∵四边形OABC是矩形
∴OA∥CB
∴∠CED=∠EDA
∵∠EDA=∠CDE
∴∠CED=∠CDE
∴CE=CD=10,E(10,8)
(2)如图,过B′作B′M⊥BC于M
∵B′C=AB=8,B′E=BE=6,∠CB′E=90°
∴B′M=,B′(6.4,12.8)
∵k=10×8=80,y=
又∵6.4×12.8≠80
∴点B′不在这个反比例函数的图象上
(3)当x=16时,y=5
∴F(16,5)
有三种情况如图:
①把线段DE先向右平移10个单位长度,再向上平移5个单位,端点E落在G1处,G1(20,13);
②把线段EF先向左平移4个单位长度,再向下平移8个单位,端点F落在G2处,G2(12,-3);
③把线段DF先向左平移6个单位长度,再向上平移3个单位,端点D落在G3处,G3(0,3).
综上所述,在平面直角坐标系中存在G1(20,13)、G2(12,-3)、G3(0,3)使得以点D、E、F、G为顶点的四边形是平行四边形.