Question

【题目】如图，点是反比例函数图像上的任意一点，过点作∥轴，交另一个反比例函数的图像于点.

（1）若，则______ ；

（2）当时， 若点的横坐标是1，求的度数；

（3）如图，若不论点在何处，反比例函数图像上总存在一点，使得四边形为平行四边形，求的值.

Answer 1

【答案】（1）k=-4;（2）∠AOB=90°;（3）k=-4.

【解析】（1）AB交y轴于H，根据反比例函数的比例系数的几何意义得S△AOH=×2=1，S△BOH=|k|，由于S△AOB=3，则1+|k|=3，解得k=4或-4，由于k＜0，所以k=-4；
（2）①先确定A点坐标为（1，2），B点坐标为（-4，2），根据勾股定理计算出OA=，由于=，∠HAO=∠OAB，根据相似三角形的判定得到△HAO∽△OAB，所以∠AOB=∠OHA=90°，

（3）作AE⊥x轴于点E，作DF⊥AB于点F，连接BD，证△DBF≌△AOE，得出D点的坐标即可得出的值.

解：（1）连结OD交AB于P，如图1，

设A点坐标为（t， ），则B点坐标为（， ），
根据平行四边形的性质得PA=PB，PD=PO，根据线段中点坐标公式得到P点坐标为（， ），则D点坐标为（， ），然后把D（， ）代入y=得=k，于是可解得k=-4．

（2）由题意，得：A（1，2）B（-4，2）

设AB交y轴于点E，则AE=1，OE=2，EB=4，∴AB=5.

∵OA2 =AE2+OE2=12+22=5，OB2=OE2+BE2=22+42=20，

∴OA2+OB2=5+20=25=AB2．

∴△AOB为直角三角形，且∠AOB=90°．

（3）存在点D在点B上方。设A（a,b),B(m,b)，

作AE⊥x轴于点E，作DF⊥AB于点F，连接BD． 则：AE=b，OE=a，

∵四边形AOBD是平行四边形，

∴BD=AO，BD//AO，

∴△DBF≌△AOE，

∴BF=OE=a，DF=AE=b ，

∴D（m+a，b+b)，即：D（m+a，2b) ．

∵2b（m+a)=k，即：2bm+2ba=k且ba=2，bm=k，

∴2k+4=k ，即：k=-4 ．

“点睛”本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的比例系数的几何意义和平行四边形的性质；会利用相似比进行计算．