Question

Rt△ABC与Rt△FED是两块全等的含30°、60°角的三角板，按如图（一）所示拼在一起，CB与DE重合．
（1）求证：四边形ABFC为平行四边形；
（2）取BC中点O，将△ABC绕点O顺时钟方向旋转到如图（二）中△A′B′C′位置，直线B'C'与AB、CF分别相交于P、Q两点，猜想OQ、OP长度的大小关系，并证明你的猜想；
（3）在（2）的条件下，指出当旋转角至少为多少度时，四边形PCQB为菱形？（不要求证明）

Answer 1

（1）证明：∵△ABC≌△FCB，（1分）
∴AB=CF，AC=BF．（2分）
∴四边形ABFC为平行四边形．（3分）
（用其它判定方法也可）

（2）OP=OQ，（4分）
理由如下：∵OC=OB，∠COQ=∠BOP，∠OCQ=∠PBO，
∴△COQ≌△BOP．（6分）
∴OQ=OP．（7分）
（用平行四边形对称性证明也可）

（3）90°．
理由：∵OP=OQ，OC=OB，
∴四边形PCQB为平行四边形，
∵BC⊥PQ，
∴四边形PCQB为菱形．（8分）