Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E，且∠CBD=∠A．
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若AD：AO=8：5，BC=2，求BD的长．

Answer 1

分析：（1）要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可；
（2）通过作辅助线，根据已知条件求出∠CBD的度数，在Rt△BCD中求解即可．

解答：解：（1）直线BD与⊙O相切．（1分）
证明：如图，连接OD．
∵OA=OD
∴∠A=∠ADO
∵∠C=90°，∴∠CBD+∠CDB=90°
又∵∠CBD=∠A
∴∠ADO+∠CDB=90°
∴∠ODB=90°
∴直线BD与⊙O相切．（2分）

（2）解法一：如图，连接DE．
∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE=90°
∵AD：AO=8：5
∴cosA=

AD

AE

=

4

5

（3分）
∵∠C=90°，∠CBD=∠A
cos∠CBD=

BC

BD

=

4

5

（4分）
∵BC=2，
∴BD=

5

2

（5分）
解法二：如图，过点O作OH⊥AD于点H．
∴AH=DH=

1

2

AD
∵AD：AO=8：5
∴cosA=

AH

AO

=

4

5

（3分）
∵∠C=90°，∠CBD=∠A
∴cos∠CBD=

BC

BD

=

4

5

（4分）
∵BC=2
∴BD=

5

2

（5分）

点评：本题考查圆的切线的判定、圆的有关性质如垂径定理、直径所对的圆周角是直角等，应对其熟练掌握．