题目内容
【题目】如果一条直线把矩形分割成两个矩形，其中一个为黄金矩形 （宽与长的比为
的矩形），则称这条直线为该矩形的黄金线．例如图所示的矩形
中，直线
，分别交
、
于点
、
，且
，显然直线
是矩形的黄金线．
（1）如图，在矩形中，
，
．请在图中画出矩形的其中一条黄金线
，其中
在边上，
在边上，并标注出线段
的长度；
（2）将正方形纸片按图所示的方式折叠．
如图所示，按上述方法折叠所得到的折痕
是否为正方形的黄金线？请说明理由．
（3）在矩形中，
，
，己知矩形的黄金线恰好将矩形分割成两个黄金矩形，则
______（只要求直接写出其中三个答案）．
【答案】（1）答案见解析，（2）是，理由见解析；（3）
，
，
，
，
，
．
【解析】
（1）根据矩形黄金线的定义可算出AM=和
，从而可画出已知矩形的黄金线；
（2）连结
，设
，
，由折叠得
，由△CGE的面积两种求法列出方程，求得
，从而求得
，即
是正方形
的黄金线；
（3）分类讨论，根据点E的不同位置，不同边的比得到不同a的值．
（1）∵
∴
,
如图所示，
此时，
（2）折痕是正方形的黄金线．理由如下：
如图，连结，设，，由折叠得，
在
中，
，
，
又
，∴
．解得：
．
即．∴．
∴是正方形的黄金线．
（3）①当
，
时，EF把矩形ABCD分割成两个黄金矩形，则
∵AB=1，AD=a
∴
，
∴
∴
；
②当
，时，EF把矩形ABCD分割成两个黄金矩形，则
∵AB=1，AD=a
∴
，
∴
∴
；
③当
，
时，EF把矩形ABCD分割成两个黄金矩形，则
∵AB=1，AD=a
∴
，
∴
∴
；
④当，
时，EF把矩形ABCD分割成两个黄金矩形，则
，
，
，
解得，
；
⑤，时，EF把矩形ABCD分割成两个黄金矩形，则
，解得，
；
⑥当，
时，EF把矩形ABCD分割成两个黄金矩形，则
，
，解得，
；
⑦当
，时，EF把矩形ABCD分割成两个黄金矩形，则
，
，
，解得，
；
⑧当，时，EF把矩形ABCD分割成两个黄金矩形，则
，
，解得，
故答案为：，，，，，
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