题目内容

【题目】已知,AB、AC是圆O的两条弦,AB=AC,过圆心O作OHAC于点H.

(1)如图1,求证:B=C;

(2)如图2,当H、O、B三点在一条直线上时,求BAC的度数;

(3)如图3,在(2)的条件下,点E为劣弧BC上一点,CE=6,CH=7,连接BC、OE交于点D,求BE的长和的值.

【答案】(1)证明见解析.(2)BAC=60°

(3)BM=5=.

【解析】

试题分析:(1)如图1中,连接OA.欲证明B=C,只要证明AOC≌△AOB即可.

(2)由OHAC,推出AH=CH,由H、O、B在一条直线上,推出BH垂直平分AC,推出AB=BC,由AB=AC,推出AB=AC=BC,推出ABC为等边三角形,即可解决问题.

(3)过点B作BMCE延长线于M,过E、O作ENBC于N,OKBC于K.设ME=x,则BE=2x,BM=x,在BCM中,根据BC2=BM2+CM2,可得BM=5,推出sinBCM==,推出NE=,OK=CK=,由NEOK,推出DE:OD=NE:OK即可解决问题.

试题解析:(1)如图1中,连接OA.

AB=AC,

弧AC=弧AB,

∴∠AOC=AOB,

AOC和AOB中,

∴△AOC≌△AOB,

∴∠B=C.

解:(2)连接BC,

OHAC,

AH=CH,

H、O、B在一条直线上,

BH垂直平分AC,

AB=BC,AB=AC,

AB=AC=BC,

∴△ABC为等边三角形,

∴∠BAC=60°

解:(3)过点B作BMCE延长线于M,过E、O作ENBC于N,OKBC于K.

CH=7,

BC=AC=14,

设ME=x,

∵∠CEB=120°

∴∠BEM=60°

BE=2x,

BM=x,

BCM中,BC2=BM2+CM2

142=(x)2+(6+x)2

x=5或8(舍弃),

BM=5

sinBCM==

NE=

OK=CK=

NEOK,

DE:OD=NE:OK=45:49.

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