题目内容
【题目】已知,AB、AC是圆O的两条弦,AB=AC,过圆心O作OH⊥AC于点H.
(1)如图1,求证:∠B=∠C;
(2)如图2,当H、O、B三点在一条直线上时,求∠BAC的度数;
(3)如图3,在(2)的条件下,点E为劣弧BC上一点,CE=6,CH=7,连接BC、OE交于点D,求BE的长和的值.
【答案】(1)证明见解析.(2)∠BAC=60°;
(3)BM=5,=.
【解析】
试题分析:(1)如图1中,连接OA.欲证明∠B=∠C,只要证明△AOC≌△AOB即可.
(2)由OH⊥AC,推出AH=CH,由H、O、B在一条直线上,推出BH垂直平分AC,推出AB=BC,由AB=AC,推出AB=AC=BC,推出△ABC为等边三角形,即可解决问题.
(3)过点B作BM⊥CE延长线于M,过E、O作EN⊥BC于N,OK⊥BC于K.设ME=x,则BE=2x,BM=x,在△BCM中,根据BC2=BM2+CM2,可得BM=5,推出sin∠BCM==,推出NE=,OK=CK=,由NE∥OK,推出DE:OD=NE:OK即可解决问题.
试题解析:(1)如图1中,连接OA.
∵AB=AC,
∴弧AC=弧AB,
∴∠AOC=∠AOB,
在△AOC和△AOB中,
,
∴△AOC≌△AOB,
∴∠B=∠C.
解:(2)连接BC,
∵OH⊥AC,
∴AH=CH,
∵H、O、B在一条直线上,
∴BH垂直平分AC,
∴AB=BC,∵AB=AC,
∴AB=AC=BC,
∴△ABC为等边三角形,
∴∠BAC=60°.
解:(3)过点B作BM⊥CE延长线于M,过E、O作EN⊥BC于N,OK⊥BC于K.
∵CH=7,
∴BC=AC=14,
设ME=x,
∵∠CEB=120°,
∴∠BEM=60°,
∴BE=2x,
∴BM=x,
△BCM中,∵BC2=BM2+CM2,
∴142=(x)2+(6+x)2,
∴x=5或﹣8(舍弃),
∴BM=5,
∴sin∠BCM==,
∴NE=,
∴OK=CK=,
∵NE∥OK,
∴DE:OD=NE:OK=45:49.
【题目】下表是某校九年级(1)班20名学生某次数学测验的成绩统计表:
成绩(分) | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 |
人数(人) | 1 | 5 | x | y | 2 |
(1)若这20名学生成绩的平均分数为82分,求x和y的值;
(2)在(1)的条件下,设这20名学生本次测验成绩的众数为a,中位数为b,求a,b的值.