题目内容
【题目】已知如图：抛物线
与
轴交于
两点（点
在点
的左侧）与
轴交于点
，点
为抛物线的顶点，过点
的对称轴交
轴于点
.
（1）如图1，连接
，试求出直线的解析式；
（2）如图2，点
为抛物线第一象限上一动点，连接
，
，
，当四边形
的面积最大时，线段交于点
，求此时
:
的值；
（3）如图3，已知点
，连接
，将
沿着
轴上下平移（包括）在平移的过程中直线交
轴于点
，交
轴于点
，则在抛物线的对称轴上是否存在点
，使得
是以
为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点
的坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）y=-
x+
；（2）
；（3）G1（2，
）,G2（2，-7），G3（2，-3）G4（2，-
）
【解析】
试题分析：（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、B点坐标，根据顶点坐标的定义，可得D点坐标，根据待定系数法，可得答案；
（2）根据平行于BC且与抛物线相切，可得过P点平行BC的直线，根据解方程组，可得P点坐标，根据解方程组，可得F点坐标，根据相似三角形的性质，可得答案；
（3）根据平移的性质，可得直线MN的解析式，根据全等三角形的判定与性质，可得关于b的方程，根据解方程，可得b，根据b的值，可得OM的长，可得EG的长，可得答案．
试题解析：（1）在y=-
x2+2x+
中，
令y=0，则-x2+2x+=0，
解得：x1=-1．x2=5，
则A的坐标是（-1，0），B的坐标是（5，0）．
抛物线y=-x2+2x+的对称轴是x=2，
把x=2代入解析式得y=
，则D的坐标是（2，
）．
设直线BD的解析式是y=kx+b，
根据题意得：
，
解得：
，
则直线BD的解析式是y=-x+；
（2）连接BC，如图2，
y=-x2+2x+中，令x=0，则y=，则C的坐标是（0，）．
设BC的解析式是y=mx+n，
则
，
解得：
，
则直线BC的解析式是y=-x+．
设与BC平行且与抛物线只有一个公共点的直线的解析式是y=-x+d．
则-x2+2x+=-x+d，
即x2-5x+（2d-10）=0，
当△=0时，x=，
代入y=-x2+2x+中得：y=
，
则P的坐标是（， ）．
又∵C的坐标是（0，），
设CP的解析式是y=ex+f，则
解得：
，
则直线CP的解析式是y=
x+．
根据题意得：
，
解得：
，
则F的坐标是（
，
）．
则
；
（3）如图3，
设BK的解析式是y=kx+b，
则
，
解得：
，
则直线BK的解析式是y=
x-2，
MN的解析式为y=x+b，
当y=0时，x=-b，即M（-b，0），ME=-b-2．
当x=0时，y=b，即N（0，b）．
由△GMN是以MN为腰的等腰直角三角形，得
MG=MN，∠GMN=90°．
∵∠MGE+∠GME=90°，∠GME+∠EMN=90°，
∴∠MGE=∠AMN．
在△GME和△MNA中，
，
∴△GME≌△MNO（AAS），
∴ME=ON，EG=OM，
即-b-2=-b．
解得b=-
．
EG=OM=-b=，
G1点的坐标为（2，）．
同理可求：G2（2，-7），G3（2，-3）G4（2，-）
