题目内容

【题目】已知如图:抛物线轴交于两点(点在点的左侧)与轴交于点,点为抛物线的顶点,过点的对称轴交轴于点.

(1如图1连接,试求出直线的解析式;

(2)如图2,点为抛物线第象限上一动点,连接,当四边形的面积最大时,线段于点,求此时:的值;

(3)如图3,已知点,连接,将沿着轴上平移(包括在平移过程中直线轴于点,交轴于点,则在抛物线的对称轴上是否存在点,使得是以为直角边的等腰直角三角形,若存在,请直接写出坐标,若不存在,请说明理由.

【答案】(1)y=-x+;(2);(3G1(2,),G2(2,-7),G3(2,-3)G4(2,-

【解析】

试题分析:(1)根据自变量与函数值的对应关系,可得A、B点坐标,根据顶点坐标的定义,可得D点坐标,根据待定系数法,可得答案;

(2)根据平行于BC且与抛物线相切,可得过P点平行BC的直线,根据解方程组,可得P点坐标,根据解方程组,可得F点坐标,根据相似三角形的性质,可得答案;

(3)根据平移的性质,可得直线MN的解析式,根据全等三角形的判定与性质,可得关于b的方程,根据解方程,可得b,根据b的值,可得OM的长,可得EG的长,可得答案.

试题解析:(1)在y=-x2+2x+中,

令y=0,则-x2+2x+=0,

解得:x1=-1.x2=5,

则A的坐标是(-1,0),B的坐标是(5,0).

抛物线y=-x2+2x+的对称轴是x=2,

把x=2代入解析式得y=,则D的坐标是(2,).

设直线BD的解析式是y=kx+b,

根据题意得:

解得:

则直线BD的解析式是y=-x+

(2)连接BC,如图2,

y=-x2+2x+中,令x=0,则y=,则C的坐标是(0,).

设BC的解析式是y=mx+n,

解得:

则直线BC的解析式是y=-x+

设与BC平行且与抛物线只有一个公共点的直线的解析式是y=-x+d.

则-x2+2x+=-x+d,

即x2-5x+(2d-10)=0,

=0时,x=

代入y=-x2+2x+中得:y=

则P的坐标是( ).

C的坐标是(0,),

设CP的解析式是y=ex+f,则

解得:

则直线CP的解析式是y=x+

根据题意得:

解得:

则F的坐标是().

(3)如图3,

设BK的解析式是y=kx+b,

解得:

则直线BK的解析式是y=x-2,

MN的解析式为y=x+b,

当y=0时,x=-b,即M(-b,0),ME=-b-2.

当x=0时,y=b,即N(0,b).

GMN是以MN为腰的等腰直角三角形,得

MG=MN,GMN=90°

∵∠MGE+GME=90°GME+EMN=90°

∴∠MGE=AMN.

GME和MNA中,

∴△GME≌△MNO(AAS),

ME=ON,EG=OM,

即-b-2=-b.

解得b=-

EG=OM=-b=

G1点的坐标为(2,).

同理可求:G2(2,-7),G3(2,-3)G4(2,-

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