Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A（2，2

3

），C（4，0），E点从O出发，以每秒1个单位的速度，沿边OC向C点运动，P点从O点出发，以每秒2个单位的速度，沿边OA与边AC向C运动，E、P两点同时出发，设运动时间为t秒．
（1）求∠AOC的度数；
（2）过E作EH⊥AC于H，当t为何值时，△EPH是等边三角形．
（3）设四边形OEHP的面积S，求S关于t的函数表达式，并求出其最大值．
（4）当△OPE与以E、H、P为顶点的三角形相似，求P点坐标．

Answer 1

分析：（1）过A作AM⊥OC于M，根据A（2，2

3

）求出OM=2，AM=2

3

，根据tan∠AOC=

AM

OM

=

3

求出∠AOC=60°；
（2）由勾股定理求出AO=4=OC，求出CE=4-t，HC=

1

2

EC=2-

1

2

t，AH=2+

1

2

t，由勾股定理求出EH=（2-

1

2

t）

3

，
求出AP=

1

2

AH=1+

1

4

t，PH=（1+

1

4

t）

3

，根据PH=EH得出（1+

1

4

t）

3

=（2-

1

2

t）

3

，求出即可；
（3）求出S_△AOC=

1

2

×OC×AM=4

3

，S_△EHC=

1

2

CH×EH=

3

8

t²+

3

t+2

3

，当0＜t≤2时，P在OA上，过H作HN⊥AO于N，S_△AHP=

1

2

AP×HN=-

3

4

t²-

3

2

t+2

3

，代入S=S_△AOC-S_△EHC-S_△APH求出即可；当2＜t＜4时，过O作OR⊥AC于R，求出S_△AOP=

1

2

AP×OR=2

3

t-4

3

，代入S=S_△AOC-S_△EHC-S_△APO求出即可；
（4）当P在AO上时，过P作PM⊥OC于M，求出OM=t，此时E和M重合，PE=

3

t，根据△OPE与以E、H、P为顶点的三角形相似得出

PE

OE

=

EH

OP

，求出t=

4

5

，即可得出答案；当P在AC上时，此时P和A重合．

解答：解：（1）过A作AM⊥OC于M，
∵A（2，2

3

），
∴OM=2，AM=2

3

，
∴tan∠AOC=

AM

OM

=

3

，
∴∠AOC=60°；

（2）如图1，由勾股定理得：AO=4=OC，
∵∠AOC=60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴AC=OC=OA=4，∠A=∠C=60°，
∵OE=t，
∴CE=4-t，
∵∠C=60°，EH⊥AC，
∴∠HEC=30°，
∴HC=

1

2

EC=2-

1

2

t，
∴AH=4-（2-

1

2

t）=2+

1

2

t，
由勾股定理得：EH=（2-

1

2

t）

3

，
∵△PEH是等边三角形，
∴∠PHE=60°，
∴∠AHP=180°-90°-60°=30°，
∵∠A=60°，
∴∠APH=90°，
∴AP=

1

2

AH=

1

2

（2+

1

2

t）=1+

1

4

t，
PH=（1+

1

4

t）

3

，
∵△PEH是等边三角形，
∴PH=EH，
∴（1+

1

4

t）

3

=（2-

1

2

t）

3

，
t=

4

5

；
（3）如图1，S_△AOC=

1

2

×OC×AM=

1

2

×4×2

3

=4

3

，

如图2，S_△EHC=

1

2

CH×EH=

1

2

•（2-

1

2

t）•（2-

1

2

t）

3

=

3

8

t²+

3

t+2

3

，

当0＜t≤2时，P在OA上，如图3，过H作HN⊥AO于N，

∵∠A=60°，AH=2+

1

2

t，
∴∠AHN=30°，
∴AN=

1

2

AH=1+

1

4

t，
由勾股定理得：HN=（1+

1

4

t）

3

∵AP=4-2t，
∴S_△AHP=

1

2

AP×HN=

1

2

•（4-2t）•（1+

1

4

t）

3

=-

3

4

t²-

3

2

t+2

3

，
∴S=S_△AOC-S_△EHC-S_△APH=4

3

-（

3

8

t²-

3

t+2

3

）-（-

3

4

t²-

3

2

t+2

3

），
S=

3

8

t²+

3 3

2

t；
当2＜t＜4时，如图4，

过O作OR⊥AC于R，
∵∠A=60°，
∴∠AOR=30°，
∴AR=

1

2

OA=2，由勾股定理得：OR=2

3

，
∴S_△AOP=

1

2

AP×OR=

1

2

（2t-4）•2

3

=2

3

t-4

3

∴S=S_△AOC-S_△EHC-S_△APO=4

3

-（

3

8

t²-

3

t+2

3

）-（2

3

t-4

3

），
S=-

3

8

t²-

3

t+6

3

；
（4）当P在AO上时，如图5，

过P作PM⊥OC于M，
∵OP=2t，∠AOC=60°，
∴∠OPM=30°，
∴OM=t，
∵OE=t，
∴此时E和M重合，PE=

3

t，
∴∠PEO=90°，
∵∠HEC=30°，
∴∠PEH=60°=∠POE，
∵△OPE与以E、H、P为顶点的三角形相似，
∴

PE

OE

=

EH

OP

，
∴

3 t

t

=

3 2 (4-t)

2t

，
t=

4

5

，
∴OE=

4

5

，PE=

3

t=

4 3

5

，
∴P（

4

5

，

4 3

5

）；
当P在AC上时，此时P和A重合，如图6，

此时P的坐标是（2，2

3

）．

点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形性质，解直角三角形，含30度角的直角三角形性质，勾股定理等知识点的应用，主要考查学生综合运用直线进行推理和计算的能力，难度偏大，用了方程思想和分类讨论思想．