Question

【题目】探究与发现：

（1）探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的角之间的关系
已知：如图1，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，
试探究∠P与∠A的数量关系，并说明理由．
（2）探究二：四边形的两个个内角与另两个内角的平分线所夹的角之间的关系
已知：如图2，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，
试探究∠P与∠A＋∠B的数量关系，并说明理由．
（3）探究三：六边形的四个内角与另两个内角的平分线所夹的角之间的关系
已知：如图3，在六边形ABCDEF中，DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，
请直接写出∠P与∠A＋∠B＋∠E＋∠F的数量关系： ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，

∴∠PDC= ∠ADC，∠PCD= ∠ACD，

∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD，

=180°- ∠ADC- ∠ACD，

=180°- （∠ADC+∠ACD），

=180°- （180°-∠A），

=90°+ ∠A；

（2）

∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，

∴∠PDC= ∠ADC，∠PCD= ∠BCD，

∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD，

=180°- ∠ADC- ∠BCD，

=180°- （∠ADC+∠BCD），

=180°- （360°-∠A-∠B），

= （∠A+∠B）；

（3）六边形ABCDEF的内角和为：（6-2）?180°=720°，
∵DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，
∴∠PDC= ∠EDC，∠PCD= ∠BCD，
∴∠P=180°-∠PDC-∠PCD，
=180°- ∠EDC- ∠BCD，
=180°- （∠EDC+∠ACD），
=180°- （720°-∠A-∠B-∠E-∠F），
= （∠A+∠B+∠E+∠F）-180°，
即∠P= （∠A+∠B+∠E+∠F）-180°．
【解析】探究一：根据角平分线的定义可得∠PDC= ∠ADC，∠PCD= ∠ACD，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解；
探究二：根据四边形的内角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可；
探究三：根据六边形的内角和公式表示出∠EDC+∠BCD，然后同理探究二解答即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解三角形的内角和外角的相关知识，掌握三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角；直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，以及对多边形内角与外角的理解，了解多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（n-2）180°.多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°．