题目内容
【题目】如图，抛物线与x轴交于A（x1 ， 0）、B（x2 ， 0）两点，且x1＜x2 ， 与y轴交于点C（0，﹣4），其中x1 ， x2是方程x2﹣4x﹣12=0的两个根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是线段AB上的一个动点，过点M作MN∥BC，交AC于点N，连接CM，当△CMN的面积最大时，求点M的坐标；
（3）点D（4，k）在（1）中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）
解：∵x2﹣4x﹣12=0，
∴x1=﹣2，x2=6．
∴A（﹣2，0），B（6，0），
又∵抛物线过点A、B、C，故设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣6），
将点C的坐标代入，求得 
，
∴抛物线的解析式为 
；
（2）
解：设点M的坐标为（m，0），过点N作NH⊥x轴于点H（如图（1））．
∵点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（6，0），
∴AB=8，AM=m+2，
∵MN∥BC，∴△MNA∽△BCA．
∴ 
，
∴ 
，
∴ 
，
∴ 
，
= 
，
= 
．
∴当m=2时，S△CMN有最大值4．
此时，点M的坐标为（2，0）；
（3）
解：∵点D（4，k）在抛物线 上，
∴当x=4时，k=﹣4，
∴点D的坐标是（4，﹣4）．
①如图（2），当AF为平行四边形的边时，AF平行且等于DE，
∵D（4，﹣4），∴DE=4．
∴F1（﹣6，0），F2（2，0），
②如图（3），当AF为平行四边形的对角线时，设F（n，0），
∵点A的坐标为（﹣2，0），
则平行四边形的对称中心的横坐标为： 
，
∴平行四边形的对称中心坐标为（ 
，0），
∵D（4，﹣4），
∴E'的横坐标为： ﹣4+ =n﹣6，
E'的纵坐标为：4，
∴E'的坐标为（n﹣6，4）．
把E'（n﹣6，4）代入 ，得n2﹣16n+36=0．
解得 
． 
， 
，
综上所述F1（﹣6，0），F2（2，0），F3（8﹣2 
，0），F4（8+2 ，0）．
【解析】（1）根据一元二次方程解法得出A，B两点的坐标，再利用交点式求出二次函数解析式；（2）首先判定△MNA∽△BCA．得出 ，进而得出函数的最值；（3）分别根据当AF为平行四边形的边时，AF平行且等于DE与当AF为平行四边形的对角线时，分析得出符合要求的答案．
