题目内容

如图1，抛物线y=ax2-5ax+4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．
（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在△PAB是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由；
（3）如图2，将△AOC沿x轴对折得到△AOC1，再将△AOC1绕平面内某点旋转180°后得△A1O1C2（A，O，C1分别与点A1，O1，C2对应）使点A1，C2在抛物线上，求A1，C2的坐标．
分析：（1）令抛物线解析式中x=0，求出对应的y的值，即为C的纵坐标，确定出C的坐标，再由BC与x轴平行，得到B的纵坐标与C的纵坐标相等，把此时的纵坐标代入抛物线解析式求出x的值，得到B的横坐标，确定出B的坐标，又AC=BC，由BC的长得到AC的长，在直角三角形AOC中，由AC及OC的长，利用勾股定理求出OA的长，确定出A的坐标，把A的坐标代入抛物线解析式中，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，即可确定出抛物线的解析式；
（2）分三种情况考虑：①以AB为腰且顶角为∠A时，有AB=AP1，过B作BN⊥x轴，设抛物线对称轴与x轴交于M，且由抛物线解析式求出对称轴，由OA+ON求出AN的长，在直角三角形ABN中，由AN，BN，利用勾股定理求出AB的长，即为AP1的长，在直角三角形AMP1中，由AP1及AM的长，利用勾股定理求出P1M的长，再根据P1为对称轴上的点及为第四象限的点，得出P1的坐标；②以AB为腰且顶角为∠B时，有AB=BP2，同理BP2的长，在Rt△BQP2中，根据勾股定理求出QP2的长，再由QM等于B的纵坐标，求出MP2的长，再根据P2为对称轴上的点及为第四象限的点，得出P2的坐标；③以AB为底，顶角为∠P时，P3为线段AB的垂直平分线与抛物线对称轴的交点，又AC=BC，故C也在线段AB的垂直平分线上，
即直线CP3为线段AB的垂直平分线，由A和B的坐标，利用中点坐标公式求出AB中点的坐标，设出线段AB垂直平分线的方程为y=kx+b，把C和线段AB的中点代入得到关于k与b的方程组，求出方程组的解得到k与b的值，确定出线段AB垂直平分线的方程，将对称轴x的值代入求出y的值，即为P3的纵坐标，进而确定出P3的坐标；
（3）由抛物线的对称性得到抛物线的对称轴与x轴的交点M为对称中心，即M为AA1的中点，M为C1C2的中点，由C关于y轴的对称性得到C1的坐标，再由A和M的坐标，利用中点坐标公式即可求出C2及A1的坐标．
解答：解：（1）令抛物线y=ax2-5ax+4中x=0，求得y=4，
∴C（0，4），又BC∥x轴，
∴B的纵坐标为4，
把y=4代入y=ax2-5ax+4得：ax2-5ax=0，即ax（x-5）=0，
解得：x=0（舍去）或x=5，
∴B的坐标为（5，4），
∴BC=5，又AC=BC，
∴AC=5，又OC=4，
在Rt△AOC中，根据勾股定理得：OA=
AC2-OC2
=3，
∴A（-3，0），
把x=-3，y=0代入y=ax2-5ax+4得：9a+15a+4=0，
解得：a=-
1
6
，
则抛物线解析式为y=-
1
6
x2+
5
6
x+4；


（2）存在符合条件的点P，共有3个，
①以AB为腰且顶角为∠A时，有AB=AP1，
过B作BN⊥x轴，设抛物线对称轴与x轴交于M，
由抛物线y=-
1
6
x2+
5
6
x+4，得到对称轴为x=
5
2
，
又∵A（-3，0），B（5，4），
∴OA=3，ON=5，BN=4，
∴AN=OA+ON=8，
在Rt△ABN中，利用勾股定理得：AB=
AN2+BN2
=4
5
，
∴AP1=4
5
，又AM=3+
5
2
=
11
2
，
在Rt△AMP1中，根据勾股定理得：MP1=
AP12-AM2
=
199
2
，
则P1（
5
2
，-
199
2
）；
②以AB为腰且顶角为∠B时，有AB=BP2，同理BP2=4
5
，
又BQ=
1
2
BC=
5
2
，QM=4，
在Rt△BQP2中，根据勾股定理得：QP2=QM+MP2=
BP22-QB2
，
∴4+MP2=
295
2
，即MP2=
295
-8
2
，
则P2（
5
2
，
8-
295
2
）；
③以AB为底，顶角为∠P时，P3为线段AB的垂直平分线与抛物线对称轴的交点，
又∵AC=BC，故C也在线段AB的垂直平分线上，
即直线CP3为线段AB的垂直平分线，
由A和B的坐标，得到线段AB的中点W坐标为（
5-3
2
，
0+4
2
），即（1，2），
又∵C（0，4），
设直线WC的方程为：y=kx+b，
把W和C的坐标代入得：
k+b=2
b=4
，
解得：k=-2，b=4，
∴线段AB垂直平分线的方程为y=-2x+4，
将x=
5
2
代入得：y=-2×
5
2
+4=-1，
则P3（
5
2
，-1），
综上，满足题意的P有三个，分别为：P1（
5
2
，-
199
2
）；P2（
5
2
，
8-
295
2
）；P3（
5
2
，-1）；

（3）由抛物线的对称性得到：对称轴与x轴的交点M为对称中心，
根据对称性得到：C1M=C2M，AM=A1M，
∵A（-3，0），M（
5
2
，0），
∴A1的坐标为（2×
5
2
+3，0），即（8，0），
又∵C（0，4），
∴C1（0，-4），又M（
5
2
，0），
∴C2的坐标为（2×
5
2
-0，2×0+4），即（5，4）．
点评：此题属于二次函数的综合题，涉及的知识有：二次函数的性质，利用待定系数法求函数的解析式，点的坐标，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，线段的中点坐标公式，勾股定理，以及折叠、旋转的性质，利用了转化，分类讨论及数形结合的思想，是一道综合性强、较难的题，要求学生掌握知识要全面．
练习册系列答案
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ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．
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3
），求经过A、B、C三点抛物线的解析式；
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x2+bx+c经过坐标原点O，其顶点在y轴左侧，以O为顶点作矩形OADC，A、C为抛物线E上两点，若AC∥x轴，AD=2CD，则抛物线的解析式是
 
；
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如图，将抛物线y=-
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2
x2平移后经过原点O和点A（6，0），平移后的抛物线的顶点为点B，对称轴与抛物线y=-
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x2相交于点C，则图中直线BC与两条抛物线围成的阴影部分的面积为（　　）
阅读材料：
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