题目内容
【题目】在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=﹣x+3与x轴、y轴相交于B、C两点，抛物线y=ax2+bx+3经过点B，对称轴为直线x=1．
（1）求a和b的值；
（2）点P是直线BC上方抛物线上任意一点，设点P的横坐标为t，△PBC的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）P为抛物线上的一点，连接AC，当∠BCP=∠ACO时，求点P的坐标．
【答案】(1) a=﹣1，b=2；(2) S△PBC =﹣
t2+
t（0＜t＜3）；(4)P点坐标为（4，﹣5）或（
，
）．
【解析】
试题分析：（1）由直线解析式可求得B、C两点坐标，结合对称轴，可求得a、b；（2）过点P作PE∥y轴交BC于点D，交x轴于点E，作CF⊥PD于点F，可用t表示出PD的长，则可示得S与t的关系式；（3）当点P在x轴下方时，过点A作AH⊥CP1，利用面积相等可求得AK、CK的比，再利用勾股定理可求得K点的坐标，则可求得直线CK解析式，结合P1在抛物线上可求得其坐标；当点P在x轴上方时，过点B作BM∥y轴，交CP2延长线于点M，可证明△CBK≌△CBM，则可求得M点坐标，可求得直线CM解析式，同理可求得P2点的坐标，则可求得P点坐标．
试题解析：（1）∵直线y=﹣x+3与x轴、y轴相交于B、C两点，
∴B（3，0），C（0，3），
∴9a+3b+3=0，
∵抛物线对称轴为直线x=1，
∴
=1，
∴a=﹣1，b=2；
（2）如图1，过点P作PE∥y轴交BC于点D，交x轴于点E，作CF⊥PD于点F，
∵P（t，﹣t2+2t+3），
∴D（t，﹣t+3），
∵点P是直线BC上方，
∴PD=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，
∴S△PBC=S△PCD+S△PBD=
PDCF+PDBE=PDOB=×3（﹣t2+3t）=﹣
t2+
t（0＜t＜3）；
（3）①如图2，当∠BCP1=∠ACO时，过点A作AH⊥CP1，
∵OA=1，OC=3，
∴AC=
，
∵∠BCP1=∠ACO，
∴∠ACH=45°，
∴AH=
，
∵S△ACK=AKOC=CKAH，
∴
，
设K=π，CK=3m，OK=m﹣1，
在Rt△COK中，OC2+OK2=CK2
∴32+（m﹣1）2=（3m）2，解得m=
，
∴K（
，0），
∴直线CK解析式为y=﹣2x+3，
∴P1（n，﹣2n+3）
∵P1在抛物线y=﹣x2+2x+3上，
∴P1（4，﹣5）；
②如图2，∠BCP2=∠ACO时，过点B作BM∥y轴，交CP2延长线于点M，
在△CBK和△CBM中
∴△CBK≌△CBM（ASA），
∴BK=BM=
，
∴M（3，），
∴直线CM的解析式为y=﹣x+3，
∴P2（m，﹣m+3）
∵P2在抛物线上，
∴P2（
，
），
∴P点坐标为（4，﹣5）或（，）．
