题目内容

【题目】在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,直线y=﹣x+3与x轴、y轴相交于B、C两点,抛物线y=ax2+bx+3经过点B,对称轴为直线x=1.

(1)求a和b的值;

(2)点P是直线BC上方抛物线上任意一点,设点P的横坐标为t,PBC的面积为S,求S与t之间的函数关系式,并写出t的取值范围;

(3)P为抛物线上的一点,连接AC,当BCP=ACO时,求点P的坐标.

【答案】(1) a=﹣1,b=2;(2) SPBC =﹣t2+t(0t3);(4)P点坐标为(4,﹣5)或().

【解析】

试题分析:(1)由直线解析式可求得B、C两点坐标,结合对称轴,可求得a、b;(2)过点P作PEy轴交BC于点D,交x轴于点E,作CFPD于点F,可用t表示出PD的长,则可示得S与t的关系式;(3)当点P在x轴下方时,过点A作AHCP1,利用面积相等可求得AK、CK的比,再利用勾股定理可求得K点的坐标,则可求得直线CK解析式,结合P1在抛物线上可求得其坐标;当点P在x轴上方时,过点B作BMy轴,交CP2延长线于点M,可证明CBK≌△CBM,则可求得M点坐标,可求得直线CM解析式,同理可求得P2点的坐标,则可求得P点坐标.

试题解析(1)直线y=﹣x+3与x轴、y轴相交于B、C两点,

B(3,0),C(0,3),

9a+3b+3=0,

抛物线对称轴为直线x=1,

=1

a=﹣1,b=2;

(2)如图1,过点P作PEy轴交BC于点D,交x轴于点E,作CFPD于点F,

P(t,﹣t2+2t+3),

D(t,﹣t+3),

点P是直线BC上方,

PD=﹣t2+2t+3﹣(﹣t+3)=﹣t2+3t,

SPBC=SPCD+SPBD=PDCF+PDBE=PDOB=×3(﹣t2+3t)=﹣t2+t(0t3);

(3)如图2,当BCP1=ACO时,过点A作AHCP1

OA=1,OC=3,

AC=

∵∠BCP1=ACO,

∴∠ACH=45°,

AH=

SACK=AKOC=CKAH,

设K=π,CK=3m,OK=m﹣1,

在RtCOK中,OC2+OK2=CK2

32+m﹣1)2=(3m)2,解得m=

K( ,0),

直线CK解析式为y=﹣2x+3,

P1(n,﹣2n+3)

P1在抛物线y=﹣x2+2x+3上,

P1(4,﹣5);

如图2,BCP2=ACO时,过点B作BMy轴,交CP2延长线于点M,

CBK和CBM中

∴△CBK≌△CBM(ASA),

BK=BM=

M(3,),

直线CM的解析式为y=﹣x+3,

P2(m,﹣m+3)

P2在抛物线上,

P2),

P点坐标为(4,﹣5)或().

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