如图.点A.B的坐标分别是.点C是线段AB的中点.动点P从点A出发.沿AO方向以每秒1个单位的速度向终点O运动.同时动点Q从O出发.以每秒2个单位的速度先沿OB方向运动到点B.再沿BA方向向终点A运动.以CP.CQ为邻边构造平行四边形PCQD.设点P的运动时间为t秒．(1)当t=1时.求CP的长,(2)连接CD.当CD∥AP时.求t的值,(3)当经过P.B.C三� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．

如图，点A、B的坐标分别是（0，4），（3，0），点C是线段AB的中点，动点P从点A出发，沿AO方向以每秒1个单位的速度向终点O运动，同时动点Q从O出发，以每秒2个单位的速度先沿OB方向运动到点B，再沿BA方向向终点A运动，以CP、CQ为邻边构造平行四边形PCQD，设点P的运动时间为t秒．
（1）当t=1时，求CP的长；
（2）连接CD，当CD∥AP时，求t的值；
（3）当经过P、B、C三点的抛物线存在时，请直接写出该抛物线顶点纵坐标的最值；
（4）连接OC，记运动过程中平行四边形PCQD的面积为s，它与△AOC的重叠面积记为s₁，$\frac{{s}_{1}}{s}$＜$\frac{1}{3}$，请求出t的取值范围．

分析（1）求出点P坐标，利用两点间距离公式计算即可．
（2）如图2中，连接PB交CD于K．利用平行四边形的性质可以证明，当Q与B重合时，CD∥PA，由此即可解决问题．
（3）设经过P、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，P（0，4-t），C（$\frac{3}{2}$，2），B（3，0）代入得到$\left\{\begin{array}{l}{c=4-t}\\{\frac{9}{4}a+\frac{3}{2}b+c=2}\\{9a+3b+c=0}\end{array}\right.$，可得抛物线的解析式为y=-$\frac{2}{9}$tx²+（t-$\frac{4}{3}$）x+4-t．推出抛物线顶点的纵坐标=$\frac{4×（-\frac{2}{9}t）（4-t）-（t-\frac{4}{3}）^{2}}{4×（-\frac{2}{9}t）}$=$\frac{1}{8}t+\frac{2}{t}$+1=$\frac{1}{8}$（$\sqrt{t}$-$\sqrt{\frac{16}{t}}$）²+2，由此即可解决问题．
（4）分四种情形讨论即可①如图3中，当线段PD与线段OC没有交点时，重叠部分是四边形PCKD，显然不符合条件．②如图4中，当线段PD与线段OC有交点时，设OC交PD于K，重叠部分是四边形△PCK．③当点Q在线段BC上时，如图6中，重叠部分是△PCK．④当点Q在线段AC上时，重叠部分是四边形PCQK，由图象可知，显然不满足条件．

解答解：（1）如图1中，

∵A（0，4），B（3，0），
∴OA=4，OB=3，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵点C是线段AB的中点，
∴OC=AC=BC=$\frac{5}{2}$，C（$\frac{3}{2}$，2），
∵t=1，
∴AP=1，P（0，3），
∴PC=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{13}$．

（2）如图2中，连接PB交CD于K．

∵PC∥DQ，PD∥CQ，
∴四边形PCQD是平行四边形，
∴PK=KQ，
∴当Q与B重合时，点K的横坐标为$\frac{0+3}{2}$=$\frac{3}{2}$，∵C（$\frac{3}{2}$，2），
∴CK∥AP，即CD∥PA，此时t=$\frac{3}{2}$s．

（3）设经过P、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
把P（0，4-t），C（$\frac{3}{2}$，2），B（3，0）代入得到$\left\{\begin{array}{l}{c=4-t}\\{\frac{9}{4}a+\frac{3}{2}b+c=2}\\{9a+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{9}t}\\{b=t-\frac{4}{3}}\\{c=4-t}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{2}{9}$tx²+（t-$\frac{4}{3}$）x+4-t．
∴抛物线顶点的纵坐标=$\frac{4×（-\frac{2}{9}t）（4-t）-（t-\frac{4}{3}）^{2}}{4×（-\frac{2}{9}t）}$=$\frac{1}{8}t+\frac{2}{t}$+1=$\frac{1}{8}$（$\sqrt{t}$-$\sqrt{\frac{16}{t}}$）²+2，
∴当$\sqrt{t}$=$\sqrt{\frac{16}{t}}$时，抛物线顶点的纵坐标的最小值为2，
∴t=2时，抛物线顶点的纵坐标的最小值为2．

（4）①如图3中，当线段PD与线段OC没有交点时，重叠部分是四边形PCKD，显然不符合条件．

②如图4中，当线段PD与线段OC有交点时，设OC交PD于K，重叠部分是四边形△PCK．

∵运动过程中平行四边形PCQD的面积为s，它与△AOC的重叠面积记为s₁，$\frac{{s}_{1}}{s}$＜$\frac{1}{3}$，
∴当PK＜2KD时，$\frac{{s}_{1}}{s}$＜$\frac{1}{3}$，
当点Q与点B重合时，如图5中，

∵PK∥AC，
∴$\frac{OP}{OA}$=$\frac{PK}{AC}$，
∴$\frac{2.5}{4}$=$\frac{PK}{AC}$，
∴PK=$\frac{5}{8}$AC=$\frac{5}{8}$BC=$\frac{5}{8}$PD，
∴PK=$\frac{5}{3}$KD，此时，$\frac{{s}_{1}}{s}$＜$\frac{1}{3}$，满足条件．
如图4中，∵P（0，4-t），C（$\frac{3}{2}$，2），Q（2t，0），设点D坐标为（m，n）则有$\frac{\frac{3}{2}+m}{2}$=$\frac{2t}{2}$，$\frac{2+n}{2}$=$\frac{4-t+0}{2}$，
∴m=2t-$\frac{3}{2}$，n=2-t，
∴D（2t-$\frac{3}{2}$，2-t），
∴直线CQ的解析式为y=$\frac{4}{3-4t}$x+$\frac{8t}{4t-3}$，
直线PD的解析式为y=$\frac{4}{3-4t}$x+4-t．
直线OC的解析式为y=$\frac{4}{3}$x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}x}\\{y=\frac{4}{3-4t}x+4-t}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3（t-4）（3-4t）}{16t}}\\{y=\frac{（t-4）（3-4t）}{4t}}\end{array}\right.$，
∴k（$\frac{3（t-4）（3-4t）}{16t}$，$\frac{（t-4）（3-4t）}{4t}$），
当PK=2KD时，PK：PD=2：3，
∴$\frac{3（t-4）（3-4t）}{16t}$：（2t-$\frac{3}{2}$）=2：3，
解得t=$\frac{36}{25}$，
∴当$\frac{36}{25}$＜t≤$\frac{3}{2}$时，$\frac{{s}_{1}}{s}$＜$\frac{1}{3}$，
③当点Q在线段BC上时，如图6中，重叠部分是△PCK．

作KM⊥OP于M，
∵OC=AC=CB，
∴∠OCA=∠CAO，
∵PD∥AB，
∴∠KPO=∠CAO=∠KOP，
∴PK=KO，
∴PM=OM=$\frac{4-t}{2}$，
∵△PMK∽△AOB，
∴$\frac{PK}{AB}$=$\frac{PM}{OA}$，
∴$\frac{PK}{5}$=$\frac{\frac{4-t}{2}}{4}$，
∴PK=$\frac{5}{8}$（4-t），
∵PD=CQ=3+$\frac{5}{2}$-2t=$\frac{11}{2}$-2t，
当PK：PD=2：3时，
$\frac{5}{8}$（4-t）：（$\frac{11}{2}$-2t）=2：3，
解得t=$\frac{28}{17}$，
∴当$\frac{3}{2}$＜t＜$\frac{28}{17}$时，$\frac{{s}_{1}}{s}$＜$\frac{1}{3}$，
④当点Q在线段AC上时，重叠部分是四边形PCQK，由图象可知，显然不满足条件．

综上所述，当$\frac{36}{25}$＜t＜$\frac{28}{17}$时，$\frac{{s}_{1}}{s}$＜$\frac{1}{3}$．

点评本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、多边形面积问题、相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意不能漏解，学会利用配方法确定函数最值问题，属于中考压轴题．

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2．1平角=180°．

3．

阅读下面材料，回答问题：
距离能够产生美．
唐代著名文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无．”
当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道：
“世界上最遥远的距离
不是瞬间便无处寻觅
而是尚未相遇
便注定无法相聚”
距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．
已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB．
（1）当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，AB=OB=|b|=|a-b|．
（2）当A、B两点都不在原点时，
①如图2，点A、B都在原点的右边，AB=OB-OA=|b|-|a|=b-a=|a-b|；
②如图3，点A、B都在原点的左边，AB=OB-OA=|b|-|a|=-b-（-a）=a-b=|a-b|；
③如图4，点A、B在原点的两边，AB=OA+OB=|a|+|b|=a+（-b）=a-b=|a-b|．
综上，数轴上A、B两点的距离|AB|=|a-b|．
利用上述结论，回答以下三个问题：
（1）若数轴上表示x和-2的两点之间的距离是4，则x=-6或2；
（2）若代数式|x+1|+|x-2|取最小值时，则x的取值范围是-1≤x≤2；
（3）若未知数x、y满足（|x-1|+|x-3|）（|y-2|+|y+1|）=6，则代数式x+2y的最大值是7，最小值是-1．

20．下列说法正确的是（　　）

	A．	单项式-2πR²的次数是3，系数是-2
	B．	单项式-$\frac{3{x}^{2}{y}^{2}}{5}$的系数是3，次数是4
	C．	$\frac{a+b}{3}$不是多项式
	D．	多项式3x²-5x²y²-6y⁴-2是四次四项式