Question

（2010•贺州）如图所示，OM是一堵高为2.5米的围墙截面的高，小明在围墙内投篮，篮球从点A处投出，却投到了篮球框外，正好打在了斜靠在围墙上的一根竹竿CD的点B处，篮球经过的路线是二次函数y=ax²+bx+4图象的一部分．现以O为原点，垂直于OM的水平线为x轴，OM所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，如果篮球不被竹竿挡住，篮球将通过围墙外的点E，点E的坐标为（-3，

7

2

），点B和点E关于此二次函数图象的对称轴对称，若tan∠OCM=1．（围墙的厚度忽略不计，围墙内外水平面高度一样）
（1）求竹竿CD所在的直线的解析式；
（2）求点B的坐标；
（3）在围墙外距围墙底部O点5.5米处有一个大池塘，如果篮球投出后不被竹竿挡住，篮球会不会直接落入池塘？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由tan∠OCM=1，可以得出OM=OC=2.5，可以求出点C点M的坐标，利用待定系数法久可以求出直线CD的解析式．
（2）由点B和点E关于二次函数图象的对称轴对称就可以求出点B的纵坐标与点E的纵坐标相同，从而可以求出点B的坐标．
（3）由条件求出抛物线的解析式，再将求出抛物线与x轴的交点，从而判断是否可以落入池塘．

解答：解：（1）∵tan∠OCM=1，∴OM=OC=2.5，
∴C、M的坐标分别为C（-2.5，0），M（0，2.5）．
设直线CD的解析式为y=kx+b．
则

-2.5k+b=0 b=2.5

，
解之得：

k=1 b=2.5

，
∴直线CD的解析式为y=x+2.5；

（2）∵点B和点E（-3，

7

2

） 关于此二次函数的对称轴对称．
∴点B的纵坐标为

7

2

．
∵点B在直线CD上
∴x+2.5=

7

2

，
∴x=1，
∴点B坐标是（1，

7

2

）；

（3）∵点B（1，

7

2

），E（-3，

7

2

）是函数y=ax²+bx+4图象上的两点．
∴

a+b+4= 7 2 9a-3b+4= 7 2

，
解之得

a=- 1 6 b=- 1 3

，
∴二次函数的解析式为y=-

1

6

x2-

1

3

x+4．
当y=0时，-

1

6

x2-

1

3

x+4=0
解之得x₁=4，x₂=-6，
∴抛物线与x轴的交点分别为（4，0），（-6，0），
∵点（4，0）在围墙内，点（-6，0）在围墙外．
且|-6|＞5.5，
∴篮球会直接落入池塘．

点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了运营待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的解析式，锐角三角函数的运用．