Question

【题目】问题背景：如图1设P是等边△ABC内一点，PA＝6，PB＝8，PC＝10，求∠APB的度数．小君研究这个问题的思路是：将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ABP'，易证：△APP'是等边三角形，△PBP'是直角三角形，所以∠APB＝∠APP'+∠BPP'＝150°．

简单应用：（1）如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°．P为△ABC内一点，且PA＝5，PB＝3，PC＝2，则∠BPC＝　 　°．

（2）如图3，在等边△ABC中，P为△ABC内一点，且PA＝5，PB＝12，∠APB＝150°，则PC＝　 　．

拓展廷伸：（3）如图4，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝BC．求证：BD＝AD+DC．

（4）若图4中的等腰直角△ABC与Rt△ADC在同侧如图5，若AD＝2，DC＝4，请直接写出BD的长．

Answer 1

【答案】（1）135；（2）13；（3）见解析；（4）

【解析】

简单应用：（1）先利用旋转得出BP'＝AP＝5，∠PCP'＝90°，CP'＝CP＝2，再根据勾股定理得出PP'＝CP＝4，最后用勾股定理的逆定理得出△BPP'是以BP'为斜边的直角三角形，即可得出结论；

（2）同（1）的方法得出∠APP'＝60°，进而得出∠BPP'＝∠APB﹣∠APP'＝90°，最后用勾股定理即可得出结论；

拓展廷伸：（3）先利用旋转得出BD'＝BD，CD'＝AD，∠BCD'＝∠BAD，再判断出点D'在DC的延长线上，最后用勾股定理即可得出结论；

（4）先利用旋转得出BD'＝BD，CD＝AD'，∠DBD'＝90°，∠BCD＝∠BAD'，再判断出点D'在AD的延长线上，最后用勾股定理即可得出结论．

解：简单应用：（1）如图2，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠ACB＝90°，AC＝BC，将

△ACP绕点C逆时针旋转90°得到△CBP'，连接PP'，

∴BP'＝AP＝5，∠PCP'＝90°，CP'＝CP＝2，

∴∠CPP'＝∠CP'P＝45°，

根据勾股定理得，PP'＝CP＝4，

∵BP'＝5，BP＝3，∴PP'2+BP2＝BP'，

∴△BPP'是以BP'为斜边的直角三角形，

∴∠BPP'＝90°，

∴∠BPC＝∠BPP'+∠CPP'＝135°，

故答案为：135；

（2）如图3，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC＝60°，AC＝AB，

将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ABP'，连接PP'，

∴BP'＝CP，AP'＝AP＝5，∠PAP'＝60°，

∴△APP'是等边三角形，

∴PP'＝AP＝5，∠APP'＝60°，

∵∠APB＝150°，

∴∠BPP'＝∠APB﹣∠APP'＝90°，

根据勾股定理得，BP'＝＝13，

∴CP＝13，

故答案为：13；

拓展廷伸：（3）如图4，

在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，

将△ABD绕点B顺时针旋转90°得到△BCD'，

∴BD'＝BD，CD'＝AD，∠BCD'＝∠BAD，

∵∠ABC＝∠ADC＝90°，

∴∠BAD+∠BCD＝180°，

∴∠BCD+∠BCD'＝180°，

∴点D'在DC的延长线上，

∴DD'＝CD+CD'＝CD+AD，

在Rt△DBD'中，DD'＝BD，

∴BD＝CD+AD；

（4）如图5，

在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，

连接BD，将△CBD绕点B顺时针旋转90°得到△ABD'，

∴BD'＝BD，CD＝AD'，∠DBD'＝90°，∠BCD＝∠BAD'，

AB与CD的交点记作G，

∵∠ADC＝∠ABC＝90°，

∴∠DAB+∠AGD＝∠BCD+∠BGC＝180°，

∵∠AGD＝∠BGC，

∴∠BAD＝∠BCD，

∴∠BAD＝∠BAD'，

∴点D'在AD的延长线上，

∴DD'＝AD'﹣AD＝CD﹣AD＝2，

在Rt△BDD'中，BD＝DD'＝．