Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的周长为16，边OA比OC长2．点E为边BC的中点，以OE为直径的⊙M交x轴于点D，过点D作DF⊥AE于点F．
（1）求OA、OC的长；
（2）请判断直线DF与⊙M的位置关系，并加以说明；
（3）小明在解答本题时发现△AOE是等腰三角形，他断定；“直线BC上一定存在除点E以外的点P．使得△AOP也是等腰三角形”，你同意他的看法吗？若同意，求出这样的点P的坐标；若不同意，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵矩形ABCO，
∴OC=AB，OA=CB，
∵OA=OC+2，
∴OC=3，OA=5．

（2）直线DF与⊙M的位置关系是：相切，
理由是：连接MD，ED．
∵矩形ABCO，
∴OC=AB，∠OCB=∠ABE=90°，
在△OCE和△ABE中
，
∴△OCE≌△ABE，
∴OE=EA，
∴∠EOA=∠EAO，
∵MO=MD，
∴∠MOD=∠MDO，
∴∠MDO=∠EAO，
∴MD∥AE，
∵DF⊥AE，
∴DF⊥MD，
∴直线DF与⊙M的位置关系是相切．

（3）同意，理由如下：
①当OA=AP时，以点A为圆心，以AO为半径画弧，交BC于P₁、P₂两点，作P₁H⊥OA于H，P₁H=OC=3，AP₁=OA=5，∴OH=1，
因此P₁（1，3），P₂（9，3）；
②当OA=OP时，同法可求P₃（4，3），P₄（-4，3）．
因此在直线BC上，除了E点外，即存在⊙M内的点P₁，又存在⊙M外的点P₂、P₃、P₄，它们分别使△AOP是等腰三角形．
分析：（1）根据矩形的性质推出OC=AB，OA=CB，代入求出即可；
（2）连接MD，ED，根据矩形的性质和三角形全等的判定定理SAS推出△OCE≌△ABE，推出OE=EA，根据等腰三角形的性质推出∠MDO=∠EAO，根据平行线的判定推出MD∥AE，得到DF⊥AE即可；
（3）①当OA=AP时，以点A为圆心，以AO为半径画弧，交BC于P₁、P₂两点，作P₁H⊥OA于H，求出P₁H、AP₁的值，求出OH=1，即可求出P₁、P₂的坐标②当OA=OP时，同法可求P₃、P₄的坐标．
点评：本题考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，矩形的性质，全等三角形的性质和判定，切线的性质，坐标与图形性质等知识点的综合运用，题目综合性比较强，有一定的难度，对学生提出了较高的要求．分类讨论思想的运用．