Question

某商场经营一批进价为2元一件的小商品，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系：

x	3	5	9	11
y	18	14	6	2

（1）在直角坐标系中
①根据表中提供的数据描出实数对（x，y）的对应点；
②猜测并确定日销售量y件与日销售单价x元之间的函数关系式，并画出图象．并说明当x≥12时对应图象的实际意义．
（2）设经营此商品的日销售利润（不考虑其他因素）为 P元，根据日销售规律：
①试求日销售利润P元与日销售单价x元之间的函数关系式；
②当日销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？试问日销售利润P是否存在最小值？若有，试求出，并说明其实际意义；若无，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据已知表中提供的数据，在坐标系中找出各点即可；再利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）①根据日销售量y件与日销售单价x元之间的函数关系式，即可得出日销售利润P元与日销售单价x元之间的函数关系式；
②利用二次函数的最值问题，求出即可，结合实际问题分析例如当销售价x=0时，每日亏本48元．

解答：解：（1）①四点位置如图所示；
②猜测y是x的一次函数．设y=kx+b，
将（3，18），（5，14）代入上式，
得：

3k+b=18 5k+b=14

，
解之得：

k=-2 b=24

，
则有y=-2x+24时，再将（9，6），（11，2）代入验证知同样满足；
∴所求函数关系式是y=-2x+24（0≤x＜12），
当x≥12时，y=0．
实际意义：当单价大于或等于12元时，销量为0．
画出图象如图所示．

（2）①当0≤x＜12时，
P=y（x-2）=（24-2x）（x-2）=-2x²+28x-48=-2（x-7）²+50．
当x≥12时，P=0，
②由①知，当0≤x＜12时，
P=-2（x-7）²+50．
∴当x=7时，日销售利润获得最大值为50元．
当x=0时，P=-48，即为最小值．
实际意义：当销售价x=0时，每日亏本48元．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及待定系数法求一次函数解析式，利用数形结合是这部分考查的重点，同学们应重点掌握．