Question

某商场经营一批进价为2元的小商品，在市场营销中发现此商品的日销售价x（元）与日销售量y（件）之间有如下关系：

x	3	5	9	11
y	18	14	6	2

（1）根据上表在直角坐标系中描出相应的点，观察点的分布，求出y与x之间的关系式；
（2）写出日销售利润P（元）与日销售价x（元）之间的关系，并写出x的取值范围；
（3）日销售利润有无最大值，如果有，请指出当售价为多少元时，获得的利润最大？

Answer 1

分析：（1）根据点的坐标把点在平面直角坐标系中描出来，得出点在一条直线上，设直线的解析式是y=kx+b，把（3，18），（9，6）代入得出方程组，求出方程组的解即可；
（2）根据题意得出p=yx-2y，把y的解析式代入即可求出答案；
（3）把p的解析式化成顶点式，根据a的值和顶点坐标，即可求出最大值．

解答：解：（1）根据图上点的位置，点在一条直线上，设直线的解析式是y=kx+b，
把（3，18），（9，6）代入得：

18=3k+b 6=9k+b

，
解得：k=-2，b=24，
∴y与x的函数解析式是y=-2x+24；

（2）p=yx-2y
=（-2x+24）x-2（-2x+24）
=-2x²+28x-48，
∵y=-2x+24≥0，
∴x≤12，
∵x≥2，
∴x的取值范围是2≤x≤12．
答：日销售利润P（元）与日销售价x（元）之间的关系是p=-2x²+28x-48，x的取值范围是 2≤x≤12；

（3）p=-2x²+28x-48=-2（x²-14x+49）+98-48=-2（x-7）²+50，
∵-2＜0，开口向下，
∴有最大值，当x=7时，最大值是50．
答：日销售利润有最大值，当售价为7元时，获得的利润最大．

点评：本题考查了一次函数的应用、图象，二次函数的最值和应用等知识点的综合运用，主要考查学生的分析问题的能力，同时也培养了学生的观察能力，用的数学思想是转化思想和数形结合思想，题型较好，有一点难度．