题目内容

【题目】如图1,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,DAB的中点,E,F分别是AC,BC上的点(点E不与端点A,C重合),且AE=CF.

(1)求证:△ADE≌△CDF

(2)如图2连接EF并取EF的中点O,连接DO并延长至点G,使GO=OD,连接DE,DF,GE,GF.求证:四边形EDFG是正方形.

(3)当点E在什么位置时,四边形EDFG的面积最小?直接写出点E的位置及四边形EDFG面积的最小值.

【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)当点E位于AC中点时,面积最小,最小值是4

【解析】

(1)连接CD,根据等腰直角三角形的性质可得出∠A=∠DCF=45°、AD=CD,结合AE=CF可证出△ADE≌△CDF(SAS);(2)根据全等三角形的性质可得出DE=DF、ADE=∠CDF,通过角的计算可得出∠EDF=90°,再根据OEF的中点、GO=OD,即可得出GD⊥EF,且GD=2OD=EF,由此即可证出四边形EDFG是正方形;(3)过点DDE′⊥ACE′,根据等腰直角三角形的性质可得出DE′的长度,从而得出2≤DE<2,再根据正方形的面积公式即可得出四边形EDFG的面积的最小值.

(1)证明:连接CD,如图1所示.


∵△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,DAB的中点,
∴∠A=∠DCF=45°,AD=CD.
在△ADE和△CDF中,


∴△ADE≌△CDF(SAS);

(2) ∵△ADE≌△CDF(SAS),

∴DE=DF,∠ADE=∠CDF.
∵∠ADE+∠EDC=90°,
∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°,
∴△EDF为等腰直角三角形.
∵OEF的中点,GO=OD,
∴GD⊥EF,且GD=2OD=EF,
∴四边形EDFG是正方形;

(3) 解:过点DDE′⊥ACE′,如图2所示.


∵△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC=4,
∴DE′= BC=2,AB=4,点E′为AC的中点,
∴2≤DE<2(点E与点E′重合时取等号).
∴4≤S四边形EDFG=DE2<8.
∴当点E为线段AC的中点时,四边形EDFG的面积最小,该最小值为4.

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