题目内容
【题目】如图1,直线AB分别与x轴、y轴交于A、B两点,OC平分∠AOB交AB于点C,点D为线段AB上一点,过点D作DE//OC交y轴于点E,已知AO=m,BO=n,且m、n满足n2-12+36+|n-2m|=0.
(1)求A、B两点的坐标?
(2)若点D为AB中点,求OE的长?
(3)如图2,若点P(x,-2x+6)为直线AB在x轴下方的一点,点E是y轴的正半轴上一动点,以E为直角顶点作等腰直角△PEF,使点F在第一象限,且F点的横、纵坐标始终相等,求点P的坐标.
【答案】(1) 点A为（3,0），点B为（0,6）;(2) OE=1.5;(3) 点P为（6，-6）.
【解析】分析：（1）根据非负数的性质，得出方程（n-6）2=0，|n-2m|=0，求得m=3，n=6，即可得到A、B两点的坐标；（2）延长DE交x轴于点F，延长FD到点G，使得DG=DF，连接BG，构造全等三角形，再根据BG=BE列出关于x的方程，即可求得OE的长；（3）分别过点F、P作FM⊥y轴于点M，PN⊥y轴于点N，设点E为（0，m），构造全等三角形，再根据F点的横坐标与纵坐标相等，得出方程m+2x-6=m+x，解得：x=6，即可得到点P为（6，-6）．
本题解析：
（1）∵
∴
∵
， 
∴
,
∴ m=3，n=6
∴点A为（3,0），点B为（0,6）
（2）延长DE交x轴于点F，延长FD到点G，使得DG=DF，连接BG
设OE=x
∵OC平分∠AOB
∴∠BOC=∠AOC=45°
∵DE∥OC
∴∠EFO=∠FEO=∠BEG=∠BOC=∠AOC=45°
∴OE=OF=x
在△ADF和△BDG中
∵
∴△ADF≌△BDG（SAS）
∴BG=AF=3+x，∠G=∠AFE=45°
∴∠G=∠BEG=45°
∴BG=BE=6-x
∴6-x=3+x
解得：x=1.5
∴OE=1.5
（3）分别过点F、P作FM⊥y轴于点M，PN⊥y轴于点N
设点E为（0，m）
∵点P的坐标为（x，-2x+6）
则PN=x，EN=m+2x-6
∵∠PEF=90°
∴∠PEN+∠FEM=90°
∵FM⊥y轴
∴∠MFE+∠FEM=90°
∴∠PEN=∠MFE
在△EFM和△PEN中
∵
∴△EFM≌△PEN（AAS）
∴ME=NP=x，FM=EN=m+2x-6
∴点F为（m+2x-6，m+x）
∵F点的横坐标与纵坐标相等
∴m+2x-6=m+x
解得：x=6
∴点P为（6，-6）
