Question

【题目】如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，∠CDA＝∠CBD．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC＝4，tan∠ABD＝，求BE的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）3．

【解析】

（1）连OD，OE，根据圆周角定理得到∠ADO＋∠1＝90°，而∠CDA＝∠CBD，∠CBD＝∠1，于是∠CDA＋∠ADO＝90°；

（2）根据切线的性质得到ED＝EB，OE⊥BD，则∠ABD＝∠OEB，得到tan∠CDA＝tan∠OEB＝＝，易证Rt△CDO∽Rt△CBE，得到＝＝＝，求得CD，然后在Rt△CBE中，运用勾股定理可计算出BE的长．

（1）连OD，OE，如图，

∵AB为直径，

∴∠ADB＝90°，即∠ADO+∠1＝90°，

又∵∠CDA＝∠CBD，

而∠CBD＝∠1，

∴∠1＝∠CDA，

∴∠CDA+∠ADO＝90°，即∠CDO＝90°，

∴CD是⊙O的切线；

（2）解：∵EB为⊙O的切线，

∴ED＝EB，OE⊥DB，

∴∠ABD+∠DBE＝90°，∠OEB+∠DBE＝90°，

∴∠ABD＝∠OEB，

∴∠CDA＝∠OEB．

而tan∠ABD＝，

∴tan∠CDA＝，

∴tan∠OEB＝＝，

∵Rt△CDO∽Rt△CBE，

∴＝＝＝，

∴CD＝×4＝2，

在Rt△CBE中，设BE＝x，

∴（x+2）2＝x2+42，

解得x＝3．

即BE的长为3．