题目内容
【题目】阅读下面的材料：
小凯遇到这样一个问题：如图①，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝4，BD＝6，∠AOB＝30°，求四边形ABCD的面积．小凯发现，分别过点A，C作直线BD的垂线，垂足分别为E，F，设AO为m，通过计算△ABD与△BCD的面积和可以使问题得到解决(如图②)．请回答：
(1)△ABD的面积为________(用含m的式子表示)；
(2)求四边形ABCD的面积．
参考小凯思考问题的方法，解决问题：
如图③，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝a，BD＝b，∠AOB＝α(0°＜α＜90°)，则四边形ABCD的面积为________(用含a，b，α的式子表示)．
【答案】（1）
m；（2）6；解决问题：
absinα.
【解析】
（1）首先得出AE的长，再利用三角形的面积公式求出即可；
（2）根据直角三角形的性质可得AE＝m，再根据三角形的面积公式可得S△ABD＝BDAE＝m，同理再表示CF＝ (4m)，然后再表示△BCD的面积，再求两个三角形的面积和可得答案；
（3）方法与（2）类似．
（1）∵AO＝m，∠AOB＝30°，
∴AE＝m，
∴△ABD的面积为×m×6＝m.
故答案为m；
(2)由(1)得S△ABD＝m，
同理，CF＝ (4－m)，
∴S△BCD＝BD·CF＝6－m，
∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝6；
解决问题：分别过点A，C作直线BD的垂线，垂足分别为E，F，设AO为x，
∵∠AOB＝α，
∴AE＝x·sinα，
∴S△ABD＝BD·AE＝b·x·sinα，
同理，CF＝(a－x)·sinα，
∴S△BCD＝BD·CF＝b·(a－x)·sinα，
∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝b·x·sinα＋
b·(a－x)·sinα＝ab·sinα，
故答案为ab·sinα.
