Question

已知：如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，AE＞DE，BE=BC，点O是线段CE的中点．
（1）试说明CE平分∠BED；
（2）若AB=3，BC=5，求BO的长；
（3）在直线AD上是否存在点F，使得以B、C、F、E为顶点的四边形是菱形？如果存在，试画出点F的位置，并作适当说明；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据矩形的性质AD∥BC，所以∠BCE=∠DEC，再根据等腰三角形三线合一的性质求解即可；
（2）利用勾股定理先求出AE、EC的长，在△BCO中根据勾股定理即可求出BO；
（3）因为邻边BE、BC相等，所以只要作出的是平行四边形就可以，在ED延长线上可以，而在EA的延长线上不能作出以BC、BE为邻边的平行四边形．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠BCE=∠DEC，（1分）
又∵BE=BC，∴∠BCE=∠BEC．（2分）
∴∠BEC=∠DEC，
∴CE平分∠BED．（3分）

（2）在Rt△BAE中，AB=3，BE=BC=5，
∴AE=4，（4分）
在Rt△CDE中，CD=3，DE=1，
∴EC=

10

，（5分）
在Rt△BOC中，BC=5，CO=

10

2

，
∴BO=

BC2-CO2

=

52-( 10 2 )2

=

3 10

2

，（6分）
（注：此处用等面积法求BO亦可，此处写

90

2

，不扣分）

（3）在直线AD上存在点F，使得以B、C、F、E为顶点的四边形是菱形．
延长ED至F，使得EF=BC，此时四边形BCFE是菱形．（7分）
∵AE＞DE，∴BE＞CE，
因此在EA的延长线上不存在点F，使得四边形BCEF为菱形．（8分）

点评：本题主要利用矩形的性质、等腰三角形的性质和勾股定理，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．