题目内容

【题目】如图①所示,已知A、B为直线l上两点,点C为直线l上方一动点,连接AC、BC,分别以AC、BC为边向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG,过点D作DD1⊥l于点D1,过点E作EE1⊥l于点E1

(1)如图②,当点E恰好在直线l上时(此时E1与E重合),试说明DD1=AB;

(2)在图①中,当D、E两点都在直线l的上方时,试探求三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系,并说明理由;

(3)如图③,当点E在直线l的下方时,请直接写出三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系.(不需要证明)

【答案】(1)证明详见解析;(2AB=DD1+EE1;(3AB=DD1-EE1

【解析】试题分析:(1)由四边形CADFCBEG是正方形可得AD=CA∠DAC=∠ABC=90°,又由同角的余角相等,求得∠ADD1=∠CAB,然后利用AAS证得△ADD1≌△CAB,根据全等三角形的对应边相等,即可得DD1=AB

2)首先过点CCH⊥ABH,由DD1⊥AB,可得∠DD1A=∠CHA=90°,由四边形CADF是正方形,可得AD=CA,又由同角的余角相等,求得∠ADD1=∠CAH,然后利用AAS证得△ADD1≌△CAH,根据全等三角形的对应边相等,即可得DD1=AH,同理EE1=BH,则可得AB=DD1+EE1

3)证明方法同(2),即可得到AB=DD1-EE1

试题解析:(1)因为四边形CADFCBEG是正方形,

所以AD=CA∠DAC=∠ABC=90°

所以∠DAD1+∠CAB=90°

因为DD1⊥AB

所以∠DD1A=∠ABC=90°

所以∠DAD1+∠ADD1=90°

所以∠ADD1=∠CAB

△ADD1△CAB中,

∠ADD1=∠CAB∠DD1A=∠ABC AD=CA

所以△ADD1≌△CAB

所以DD1=AB

2AB=DD1+EE1,理由如下:

过点CCH⊥ABH ,与(1)同理,△ADD1≌△CAH,所以DD1=AH,同理EE1=BH,所以AB=DD1+EE1

3AB=DD1-EE1,理由如下:

过点CCH⊥ABH ,与(1)同理,△ADD1≌△CAH,所以DD1=AH,同理EE1=BH,所以AB=DD1-EE1

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