Question

【题目】如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论：①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四边形DEOF其中正确的结论是（ ）

A.①②④B.②③④C.①②③D.①②③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

根据正方形的性质得AB=AD=DC，∠BAD=∠D=90°，则由CE=DF易得AF=DE，根据“SAS”可判断△ABF≌△DAE，所以AE=BF；

根据全等的性质得∠ABF=∠EAD，∠AFB=∠DEA，利用∠EAD+∠EAB=90°得到∠ABF+∠EAB=90°，则AE⊥BF；

连结BE，BE＞BC，BA≠BE，而BO⊥AE，根据垂直平分线的性质得到OA≠OE；

最后根据△ABF≌△DAE得S△ABF=S△DAE，则S△ABF-S△AOF=S△DAE-S△AOF，即S△AOB=S四边形DEOF．

∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=AD=DC，∠BAD=∠D=90°，而CE=DF，

∴AF=DE，

在△ABF和△DAE中

，

∴△ABF≌△DAE（SAS），

∴AE=BF，故①正确；

∴∠ABF=∠EAD，∠AFB=∠DEA，

∴∠CEA=∠DFB，而∠EAD+∠EAB=90°，

∴∠ABF+∠EAB=90°，

∴∠AOB=90°，

∴AE⊥BF，故②正确；

连结BE，

∵BE＞BC，

∴BA≠BE，而BO⊥AE，

∴OA≠OE，故③错误；

∵△ABF≌△DAE，

∴S△ABF=S△DAE，

∴S△ABF-S△AOF=S△DAE-S△AOF，

∴S△AOB=S四边形DEOF，故④正确．

故选：A．