Question

【题目】如图，⊙和⊙相交于A、B两点，与AB交于点C，的延长线交⊙于点D，点E为AD的中点，AE=AC，联结．

（1）求证：；

（2）如果，，求⊙的半径长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）5.

【解析】

(1)根据条件得到AC，AB的关系，再利用AC＝AB即可解答.

(2)利用三角形相似即可解答.

⑴ ⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，

∴O1O2是AB的垂直平分线

∴AB＝2AC，

∵E为AD的中点

∴AD＝2AE，O1E⊥AD，

∵AE＝AC，

∴AB＝AD，

∴O1E＝O1C.

⑵ ∵O1E⊥AD，

∴∠O1EO2＝90°，

在RT△O1EO2中，∠O1EO2＝90°，O1O2＝10，O1E＝6，

∵O1E2＋O2E2＝O1O22，

O2E2＝102－62＝64，

∴O2E＝8，

∵∠O1EO2＝∠O2CA＝90°，

∠O2＝∠O2，

∴△O2EO1∽△O2CA，

∴，

∵O1O2＝10，

AC＝AE＝O2E－O2A＝8－O2A，O1E＝6，

∴，

∴A＝5.

即⊙的半径长为5.

故答案为5.