题目内容

如图:抛物线经过A(-3,0)、B(0,4)、C(4,0)三点.

(1)求抛物线的解析式.

(2)已知AD=AB(D在线段AC上),有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动;同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动,经过t秒的移动,线段PQ被BD垂直平分,求t的值;

(3)在(2)的条件下,M为抛物线的对称轴上一动点,当MQ+MC的值最小时,请求出点M的坐标.

答案:
解析:

  (1)解:设抛物线的解析式为

  依题意得:c=4且 解得

  ∴所求的抛物线的解析式为  1分

  (2)连接DQ,在Rt△AOB中,

  

  ∴ADAB=5,

  ACADCD=3+4=7,

  CDACAD=7-5=2  2分

  ∵BD垂直平分PQ

  ∴PDQDPQBD

  ∴∠PDB=∠QDB

  ∵ADAB

  ∴∠ABD=∠ADB,∠ABD=∠QDB

  ∴DQAB

  ∴∠CQD=∠CBA.∠CDQ=∠CAB

  ∴△CDQ∽△CAB

  ∴ 即  3分

  ∴APADDPADDQ=5-  4分

    5

  (3)∵抛物线的对称轴为

  ∴A(-3,0),C(4,0)两点关于直线对称

  连接AQ交直线于点M,则MQMC的值最小

  过点QQEx轴于E

  ∴∠QED=∠BOA=90°

  ∵DQAB,∠BAO=∠QDE

  ∴△DQE∽△ABO

  ∴

  即

  ∴QEDE

  ∴OEODDE=2+

  ∴Q()  6分

  设直线AQ的解析式为

  则 解得

  ∴直线AQ的解析式为  7分

  由此得

  ∴M  8分

  当点M时,MQMC的值最小.


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