题目内容
【题目】如图已知点A (﹣2,4)和点B (1,0)都在抛物线y=mx2+2mx+n上.
(1)求m、n;
(2)向右平移上述抛物线,记平移后点A的对应点为A′,点B的对应点为B′,若四边形A A′B′B为菱形,求平移后抛物线的表达式;
(3)记平移后抛物线的对称轴与直线AB′的交点为点C,试在x轴上找点D,使得以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似.
【答案】(1)(2)
(3)
【解析】
(1)已知了抛物线图象上A、B两点的坐标,将它们代入抛物线的解析式中,即可求得m、n的值.
(2)根据A、B的坐标,易求得AB的长;根据平移的性质知:四边形AA′B′B一定为平行四边形,若四边形AA′B′B为菱形,那么必须满足AB=BB′,由此可确定平移的距离,根据“左加右减”的平移规律即可求得平移后的抛物线解析式.
(3)易求得直线AB′的解析式,联立平移后的抛物线对称轴,可得到C点的坐标,进而可求出AB、BC、AC、B′C的长;在(2)题中已经证得AB=BB′,那么∠BAC=∠BB′C,即A、B′对应,若以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似,可分两种情况考虑:①∠B′CD=∠ABC,此时△B′CD∽△ABC,②∠B′DC=∠ABC,此时△B′DC∽△ABC;
根据上述两种不同的相似三角形所得不同的比例线段,即可求得不同的BD长,进而可求得D点的坐标.
解:(1)由于抛物线经过A (﹣2,4)和点B (1,0),则有:
,解得
;
故m=﹣,n=4.
(2)由(1)得:y=﹣x2﹣
x+4=﹣
(x+1)2+
;
由A (﹣2,4)、B (1,0),可得AB==5;
若四边形A A′B′B为菱形,则AB=BB′=5,即B′(6,0);
故抛物线需向右平移5个单位,即:
y=﹣(x+1﹣5)2+
=﹣
(x﹣4)2+
.
(3)由(2)得:平移后抛物线的对称轴为:x=4;
∵A(﹣2,4),B′(6,0),
∴直线AB′:y=﹣x+3;
当x=4时,y=1,故C(4,1);
所以:AC=3,B′C=
,BC=
;
由(2)知:AB=BB′=5,即∠BAC=∠BB′C;
若以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似,则:
①∠B′CD=∠ABC,则△B′CD∽△ABC,可得:
=
,即
=
,B′D=3,
此时D(3,0);
②∠B′DC=∠ABC,则△B′DC∽△ABC,可得:
=
,即
=
,B′D=
,
此时D(,0);
综上所述,存在符合条件的D点,且坐标为:D(3,0)或(,0).
“点睛”此题考查了二次函数解析式的确定、函数图象的平移、菱形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识;(3)题中,在相似三角形的对应角和对应边不确定的情况下,一定要分类讨论,以免漏解.
