题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A10),B0 ),C20),其对称轴与x轴交于点D

1)求二次函数的表达式及其顶点坐标;

2)若Py轴上的一个动点,连接PD,求PB+PD的最小值;

3Mxt)为抛物线对称轴上一动点

①若平面内存在点N,使得以ABMN为顶点的四边形为菱形,则这样的点N共有   

②连接MAMB,若∠AMB不小于60°,求t的取值范围.

【答案】抛物线解析式为y=x2x﹣,顶点坐标(,﹣).

(2)PB+PD的最小值为

(3)①5

②取值范围是

【解析】二次函数的表达式有三种方法,这题很明显可以用顶点式以及交点式更方便些;这一题根据边的关系得出∠ABO=30°非常重要,根据在直角三角形中,30°所对的边是斜边的一半把所要求的边转化,再根据点到直线垂线段最短求得最小值;第三问ABMN组成菱形,只有AB是定点,所以要讨论AB是邻边还是对角线;最后一问与圆的知识相结合,有一定的难度,主要根据∠ABO=30°,AB=2是定值,以AB的垂直平分线与y轴的交点为圆心F,以FA为半径,则弧AB所对的圆周角为60°,与对称轴的两个交点即为t的取值范围。

解:(1)方法一:设二次函数的表达式为,B(0,-)代入解得

∴顶点坐标为

方法二:也可以用三点式设代入三点或者顶点式设代入两点求得。

如图,过P点作DE⊥AB于E点,由题意已知∠ABO=30°。

要使最小,只需要D、P、E共线,所以过D点作DE⊥AB于E点,与y轴的交点即为P点。

由题意易知,∠ADE=∠ABO=30°,

①若A、B、M、N为顶点的四边形为菱形,分两种情况,由题意知,AB=2,

若AB为边菱形的边,因为M为抛物线对称轴上的一点,即分别以A、B为顶点,AB的长为半径作圆与对称轴的交点即为M点,这样的M点有四个,如图

若AB为菱形的对角线,根据菱形的性质,作AB的垂直平分线与对称轴的交点即为M点。

综上所述,这样的M点有5个,所以对应的N点有5个。

②如图,作AB的垂直平分线,与y轴交于F点。

由题意知,AB=2,∠BAF=∠ABO=30°,∠AFB=120°

∴以F为圆心,AF的长为半径作圆交对称轴于M和M'点,则∠AMB=∠AM'B=∠AFB=60°

∵∠BAF=∠ABO=30°,OA=1

∴∠FAO=30°,AF==FM=FM',OF=,过F点作FG⊥MM'于G点,已知FG=

,又∵G

∴M(,M'

方法二:设M,M到点F的距离d=AF=也可求得.

“点睛”本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、最短问题、圆等知识,解题的关键是掌握待定系数法确定解析式,学会利用垂线最短解决实际问题中 的最短问题,学会添加辅助线,构造圆解决角度问题,属于中考压轴题.

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