题目内容
【题目】如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过△ABC的三个顶点，与y轴相交于(0， 
)，点A坐标为(－1，2)，点B是点A关于y轴的对称点，点C在x轴的正半轴上．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）点F为线段AC上一动点，过点F作FE⊥x轴，FG⊥y轴，垂足分别为点E，G，当四边形OEFG为正方形时，求出点F的坐标；
（3）将（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，记平移中的正方形OEFG为正方形DEFG，当点E和点C重合时停止运动，设平移的距离为t，正方形的边EF与AC交于点M，DG所在的直线与AC交于点N，连接DM，是否存在这样的t，使△DMN是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=﹣
x2+
；（2）（1，1）；（3）当△DMN是等腰三角形时，t的值为
，3﹣
或1．
【解析】试题分析：（1）易得抛物线的顶点为（0，），然后只需运用待定系数法，就可求出抛物线的函数关系表达式；
（2）①当点F在第一象限时，如图1，可求出点C的坐标，直线AC的解析式，设正方形OEFG的边长为p，则F（p，p），代入直线AC的解析式，就可求出点F的坐标；②当点F在第二象限时，同理可求出点F的坐标，此时点F不在线段AC上，故舍去；
（3）过点M作MH⊥DN于H，如图2，由题可得0≤t≤2．然后只需用t的式子表示DN、DM2、MN2，分三种情况（①DN=DM，②ND=NM，③MN=MD）讨论就可解决问题．
试题解析：（1）∵点B是点A关于y轴的对称点，
∴抛物线的对称轴为y轴，
∴抛物线的顶点为（0，），
故抛物线的解析式可设为y=ax2+．
∵A（﹣1，2）在抛物线y=ax2+上，
∴a+=2，
解得a=﹣，
∴抛物线的函数关系表达式为y=﹣x2+；
（2）①当点F在第一象限时，如图1，
令y=0得，﹣x2+=0，
解得：x1=3，x2=﹣3，
∴点C的坐标为（3，0）．
设直线AC的解析式为y=mx+n，
则有
，
解得
，
∴直线AC的解析式为y=﹣x+
．
设正方形OEFG的边长为p，则F（p，p）．
∵点F（p，p）在直线y=﹣x+上，
∴﹣p+=p，
解得p=1，
∴点F的坐标为（1，1）．
②当点F在第二象限时，
同理可得：点F的坐标为（﹣3，3），
此时点F不在线段AC上，故舍去．
综上所述：点F的坐标为（1，1）；
（3）过点M作MH⊥DN于H，如图2，
则OD=t，OE=t+1．
∵点E和点C重合时停止运动，∴0≤t≤2．
当x=t时，y=﹣t+，则N（t，﹣t+），DN=﹣t+．
当x=t+1时，y=﹣（t+1）+=﹣t+1，则M（t+1，﹣t+1），ME=﹣t+1．
在Rt△DEM中，DM2=12+（﹣t+1）2=t2﹣t+2．
在Rt△NHM中，MH=1，NH=（﹣t+）﹣（﹣t+1）=，
∴MN2=12+（）2=
．
①当DN=DM时，
（﹣t+）2=t2﹣t+2，
解得t=；
②当ND=NM时，
﹣t+=
，
解得t=3﹣；
③当MN=MD时，
=t2﹣t+2，
解得t1=1，t2=3．
∵0≤t≤2，∴t=1．
综上所述：当△DMN是等腰三角形时，t的值为，3﹣或1．
