题目内容
【题目】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21.动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动.设运动的时间为t（秒）.
(1)设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
(2)当t为何值时，以B、P、Q三点为顶底的三角形是等腰三角形？
（3）当线段PQ与线段AB相交于点O，且2AO=OB时，求∠BQP的正切值；
（4）是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）S=
;(2) t
秒；（3）
；（4）t=9，理由见解析.
【解析】试题分析：
(1)△BPQ的高PM=CD，把底BQ用t表示即可；
(2)用t表示出△BPQ的三边，分三种情况建立关于t的方程求解；
(3)过点Q作QE⊥AD，垂足为E，在直角△PQE中分别用t表示出两条直角边，由2OA=OB，结合相似三角形的性质，建立方程求得t，用正切的定义求解；
(4)假设存在时刻t，使得PQ⊥BD，由Rt△BDC∽Rt△QPE，列方程求解.
试题解析：
(1)如图，过点P作PM⊥BC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形.
∴PM=DC=12，
∴S=
；
(2)由图可以知道：CM=PD=2t，CQ=t
以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
①若PQ=BQ
在Rt△PMQ中，
，
由
计算得出t=
；
②若BP=BQ
在Rt△PMB中，
由BP2=BQ2得：
即
因为此方程无解。
∴PB≠BQ
③若PB=PQ
由
整理，得
计算得出
综合上面的讨论可以知道：当t
三点为顶点的三角形是等腰三角形。
(3)如图，由△OAP∽△OBQ，得
∵AP=2t-21，BQ=16-t
∴2(2t-21)=16-t
∴t=
过点Q作QE⊥AD，垂足为E，
∵PD=2t，ED=QC=t，
∴PE=t。
在Rt△PEQ中，tan∠QPE=
又∵AD∥BC
∴∠BQP=∠QPE
∴tan∠BQP=.
(4)设存在时刻t，使得PQ⊥BD
如图，过点Q作QE⊥AD于E，垂足为E.
∵AD∥BC
∴∠BQP=∠EPQ
∵∠BFQ=∠C=90°
∴∠BQF=∠BDC，
∴∠BDC=∠EPQ
又∵∠C=∠PEQ=90°，
∴Rt△BDC∽Rt△QPE
∴
。
解得t=9.
所以，当t=9秒时，PQ⊥BD.
