Question

(本小题满分12分)
如图，已知直线PA交⊙0于A、B两点，AE是⊙0的直径．点C为⊙0上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D。
(1)求证：CD为⊙0的切线；
(2)若DC+DA=6，⊙0的直径为l0，求AB的长度.

Answer 1

(1)证明：连接OC,

因为点C在⊙0上，0A=OC,所以∠OCA=∠OAC，因为CD⊥PA，所以∠CDA=90°，
有∠CAD+∠DCA=90°，因为AC平分∠PAE，所以∠DAC=∠CAO。
所以∠DC0=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°。
又因为点C在⊙O上，OC为⊙0的半径，所以CD为⊙0的切线．
(2)解：过0作0F⊥AB，垂足为F，所以∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°，
所以四边形OCDF为矩形，所以0C=FD，OF=CD.
∵DC+DA=6，设AD=x，则OF=CD=6-x，
∵⊙O的直径为10，∴DF=OC=5，∴AF=5-x，
在Rt△AOF中，由勾股定理得.
即，化简得：
解得或。
由AD<DF，知，故。
从而AD="2," AF=5-2=3.
∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，∴AB=2AF=6.

略