题目内容

【题目】我们把两条中线互相垂直的三角形称为中垂三角形.例如图1,图2,图3中,的中线,,垂足为.像这样的三角形均为中垂三角形.设

特例探索:

1)①如图1,当时,_________________

②如图2,当时,求的值.

归纳证明:

2)请你观察(1)中的计算结果,猜想三者之间的关系,用等式表示出来,并利用图3证明你发现的关系式.

3)利用(2)中的结论,解答下列问题:在边长为3的菱形中,为对角线的交点,分别为线段的中点,连接并延长交于点分别交于点,如图4所示,求的值.

【答案】1)①;②;(2;(3

【解析】

(1)①在图1中,连接EF,三角形中位线定理和相似得到,根据等腰直角三角形可得,利用勾股定理即可求解;②在图2中,根据含30°直角三角形可得,利用勾股定理即可求解.

(2)三角形中位线定理和相似得到,结合勾股定理,即可求解;

(3)证明:,则,即可求解.

解:如图1、2、3、4,连接,则的中位线,

①,

(1)如图1,在直角三角形能ABP中,

②在图2中,在直角三角形能ABP中,,

(2)关系为:

证明:如图3,由①得:

(3)在菱形中,分别为线段的中点

,则

同理

同理:

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