题目内容
【题目】我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.例如图1,图2,图3中,,
是
的中线,
,垂足为
.像
这样的三角形均为“中垂三角形”.设
,
,
.
特例探索:
(1)①如图1,当,
时,
_________,
________;
②如图2,当,
时,求
和
的值.
归纳证明:
(2)请你观察(1)中的计算结果,猜想三者之间的关系,用等式表示出来,并利用图3证明你发现的关系式.
(3)利用(2)中的结论,解答下列问题:在边长为3的菱形中,
为对角线
,
的交点,
分别为线段
,
的中点,连接
,
并延长交于点
,
,
分别交
于点
,
,如图4所示,求
的值.
【答案】(1)①,
;②
,
;(2)
;(3)
【解析】
(1)①在图1中,连接EF,三角形中位线定理和相似得到,
,根据等腰直角三角形可得
,利用勾股定理即可求解;②在图2中,根据含30°直角三角形可得
,
,利用勾股定理即可求解.
(2)三角形中位线定理和相似得到,
,结合勾股定理
,即可求解;
(3)证明:,
,则
,即可求解.
解:如图1、2、3、4,连接,则
是
的中位线,
则,
,
,
①,
(1)如图1,在直角三角形能ABP中,,
∴,
;
②在图2中,在直角三角形能ABP中,,
,
∴
则,
;
(2)关系为:,
证明:如图3,由①得:,
,
则;
(3)在菱形中,
分别为线段
,
的中点
,
,
,则
,
同理,
,
,
,
,
,
,
同理:,
则.

【题目】某水果公司新购进10000千克柑橘,每千克柑橘的成本为9元. 柑橘在运输、存储过程中会有损坏,销售人员从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘,进行“柑橘损坏率”统计,并把获得的数据记录如下:
柑橘总重量n/千克 | 50 | 100 | 150 | 200 | 250 | 300 | 350 | 400 | 450 | 500 |
损坏柑橘重量m/千克 | 5.50 | 10.50 | 15.15 | 19.42 | 24.25 | 30.93 | 35.32 | 39.24 | 44.57 | 51.54 |
柑橘损坏的频率 | 0.110 | 0.105 | 0.101 | 0.097 | 0.097 | 0.103 | 0.101 | 0.098 | 0.099 | 0.103 |
根据以上数据,估计柑橘损坏的概率为 (结果保留小数点后一位);由此可知,去掉损坏的柑橘后,水果公司为了不亏本,完好柑橘每千克的售价至少为________元.