题目内容

【题目】如图所示,动点A,B同时从原点O出发,运动的速度都是每秒1个单位,动点A沿x轴正方向运动,动点B沿y轴正方向运动,以OA,OB为邻边建立正方形OACB,抛物线y=﹣x2+bx+c经过B,C两点,假设A,B两点运动的时间为t秒:
根据
(1)直接写出直线OC的解析式;
(2)当t=3秒时,求此时抛物线的解析式;此时抛物线上是否存在一点D,使得SBCD=6?若存在,求出点D的坐标;若不存在,说明理由;
(3)在(2)的条件下,有一条平行于y轴的动直线l,交抛物线于点E,交直线OC于点F,若以O、B、E、F四个点构成的四边形是平行四边形,求点F的坐标;
(4)在动点A、B运动的过程中,若正方形OACB内部有一个点P,且满足OP= ,CP=2,∠OPA=135°,直接写出此时AP的长度.

【答案】
(1)解:∵四边形OABC是正方形,

∴∠AOC=45°,

∴直线OC的解析式为y=x


(2)解:∵t=3秒,

∴OA=OB=3,

∴点B(0,3),C(3,3),

将点B、C代入抛物线得,

解得

∴抛物线解析式为y=﹣x2+3x+3,

设BC边上的高为h,

∵BC=OA=3,SBCD=6,

∴h=4,

∴点D的纵坐标为3﹣4=﹣1,

令y=﹣1,则﹣x2+3x+3=﹣1,

整理得,x2﹣3x﹣4=0,

解得x1=﹣1,x2=4,

所以,D1(﹣1,﹣1),D2(4,﹣1)


(3)解:∵OB=3,

∴EF=3,

设E(m,﹣m2+3m+3),F(m,m),

若E在F上方,则,﹣m2+3m+3﹣m=3,

整理得,m2﹣2m=0,

解得m1=0(舍去),m2=2,

∴F1(2,2),

若F在E上方,则,m﹣(﹣m2+3m+3)=3,

整理m2﹣2m﹣6=0,

解得m1=1﹣ ,m2=1+

∴F2(1﹣ ,1﹣ ),

F3(1+ ,1+


(4)解:如图,将△AOP绕点A逆时针旋转90°得到△AP′C,

由旋转的性质得,AP′=AP,P′C=OP= ,∠AP′C=∠OPA=135°,

∵△APP′是等腰直角三角形,

∴∠AP′P=45°,

∴∠PP′C=135°﹣45°=90°,

由勾股定理得,PP′= = =

所以,AP= PP′= × =1.


【解析】(1)由正方形的性质得出∠AOC=45°。易得直线OC的解析式为y=x.
(2)根据已知求出点B、C两点的坐标,用待定系数法就可以求出二次函数的解析式。设BC边上的高为h,根据三角形的面积求出h的值,即可求出点D的纵坐标,将点D的纵坐标代入函数解析式就可以 求出点D的坐标。
(3)已知O、B、E、F四个点构成的四边形是平行四边形,则有OB=EF=3,点E在抛物线上,点F在直线y=x上,分两种情况:点E在点F的上方;点E在点F的下方,设出点E、F的坐标,根据OB=EF,建立方程求解,即可求出点F的坐标。
(4)此题用旋转的知识来解答。将△AOP绕点A逆时针旋转90°得到△AP′C,易证明APP′是等腰直角三角形,再求出∠PP′C=90°,利用勾股定理就可以求出AP的长。
【考点精析】解答此题的关键在于理解勾股定理的概念的相关知识,掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2,以及对平行四边形的性质的理解,了解平行四边形的对边相等且平行;平行四边形的对角相等,邻角互补;平行四边形的对角线互相平分.

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