题目内容
【题目】已知直线与x轴和 y 轴分别交与A,B 两点,另一直线经过点B和点C(6,-5).
(1)求 A,B 两点的坐标;
(2)证明:△ABC 是直角三角形;
(3)在 x 轴上找一点 P,使△BCP 是以 BC 为底边的等腰三角形,求出 P 点坐标.
【答案】(1) A(-4,0),B(0,3);(2)见解析;(3) P(,0).
【解析】
(1)由直线解析式求出A与B坐标即可;
(2)由B与C的坐标确定出直线BC的斜率,由已知AB的斜率,得到两直线斜率乘积为-1,可得AB与BC垂直,即可得证;
(3)作出线段BC的垂直平分线,与x轴交于点P,与直线BC交于点Q,利用中点坐标公式求出Q的坐标,根据PQ与AB都与BC垂直,得到PQ与AB平行,即斜率相等,求出直线PQ解析式,进而求出P坐标.
解:(1)对于直线y=x+3,
令x=0,得到y=3;令y=0,得到x=-4,
则A(-4,0),B(0,3);
(2)由B(0,3),C(6,-5),得到直线BC斜率为=-,
∵直线AB斜率为,
∴直线AB与直线BC斜率乘积为-×=-1,
∴AB⊥BC,
则△ABC是直角三角形;
(3)如图所示,作出BC的垂直平分线PQ,与x轴交于点P,与直线BC交于点Q,连接BP,CP,
则△BCP是以BC为底边的等腰三角形,
∵PQ⊥BC,AB⊥PQ,
∴PQ∥AB,即直线PQ与直线AB斜率相同,即为,
∵B(0,3),C(6,-5),
∴线段BC中点Q坐标为(3,-1),
∴直线PQ解析式为y+1=(x-3),即y=x-,
令y=0,得到x=,
则点P(,0).
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