Question

如图1，点E为矩形ABCD边AD上一点，点P，点Q同时从点B出发，点P沿BE→ED→DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s，设P、Q出发t秒时，△BPQ的面积为y（cm²），已知y与t的函数关系的图象如图2（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：
①AD=BE=5cm；
②当0＜t≤5时，y=

2

5

t²；
③直线NH的解析式为y=-

2

5

t+27；
④若△ABE与△QBP相似，则t=

29

4

秒，
其中正确结论的个数为（　　）

A．4

B．3

C．2

D．1

Answer 1

①根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C，
∵点P、Q的运动的速度都是1cm/s，
∴BC=BE=5cm，
∴AD=BE=5（故①正确）；

②如图1，过点P作PF⊥BC于点F，
根据面积不变时△BPQ的面积为10，可得AB=4，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠PBF，
∴sin∠PBF=sin∠AEB=

AB

BE

=

4

5

，
∴PF=PBsin∠PBF=

4

5

t，
∴当0＜t≤5时，y=

1

2

BQ•PF=

1

2

t•

4

5

t=

2

5

t^2（故②正确）；

③根据5-7秒面积不变，可得ED=2，
当点P运动到点C时，面积变为0，此时点P走过的路程为BE+ED+DC=11，
故点H的坐标为（11，0），
设直线NH的解析式为y=kx+b，
将点H（11，0），点N（7，10）代入可得：

11k+b=0 7k+b=10

，
解得：

k=- 5 2 b= 55 2

．
故直线NH的解析式为：y=-

5

2

t+

55

2

，（故③错误）；

④当△ABE与△QBP相似时，点P在DC上，如图2所示：
∵tan∠PBQ=tan∠ABE=

3

4

，
∴

PQ

BQ

=

3

4

，即

11-t

5

=

3

4

，
解得：t=

29

4

．（故④正确）；
综上可得①②④正确，共3个．
故选：B．