题目内容

【题目】如图,在△ABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F,且AF=BD,连接BF.
(1)求证:BD=CD;
(2)如果AB=AC,试判断四边形AFBD的形状,并证明你的结论.

【答案】
(1)证明:∵AF∥BC,

∴∠AFE=∠DCE,

∵E是AD的中点,

∴AE=DE,

∴△AEF≌△DEC(AAS),

∴AF=DC,

∵AF=BD,

∴BD=CD


(2)证明:四边形AFBD是矩形.

理由:

∵AB=AC,D是BC的中点,

∴AD⊥BC,

∴∠ADB=90°

∵AF=BD,

∵过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F,即AF∥BC,

∴四边形AFBD是平行四边形,

又∵∠ADB=90°,

∴四边形AFBD是矩形


【解析】(1)先由AF∥BC,利用平行线的性质可证∠AFE=∠DCE,而E是AD中点,那么AE=DE,∠AEF=∠DEC,利用AAS可证△AEF≌△DEC,那么有AF=DC,又AF=BD,从而有BD=CD;(2)四边形AFBD是矩形.由于AF平行等于BD,易得四边形AFBD是平行四边形,又AB=AC,BD=CD,利用等腰三角形三线合一定理,可知AD⊥BC,即∠ADB=90°,那么可证四边形AFBD是矩形.

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