题目内容

若△ABC的三边分别为a、b、c,且a2+b2+c2<6.证明:可以用一个单位圆覆盖△ABC.

证明:分两种情况:
①当△ABC为钝角三角形时,
不妨设c是最长边,此时,∠C>90°为钝角,
∴以c为直径的圆必然覆盖△ABC.
只需证明直径c<2即可.
根据柯西不等式:
a2+b2(a+b)2(c2),
∴a2+b2+c2(c2)+c2=(c2
(c2)<6 即:c2<4
∴c<2;
②当△ABC为锐角三角形时,
△ABC的外接圆必然可以覆盖它,
只需证明外接圆半径R<1;
根据正弦定理:
a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,
即得:4(R2)[(sinA)2+(sinB)2+(sinC)2]<6,
应用三角恒等式:
(sinA)2+(sinB)2+(sinC)2=2+2cosAcosBcosC>2【用二倍角与和差化积易证】
∴8(R2)<4(R2)[(sinA)2+(sinB)2+(sinC)2]<6
∴R2<3/4<1,
∴R<1.
综上所述:用单位圆可以覆盖△ABC.
分析:只需要证明直径小于2或者半径小于1即可.根据已知条件,将三角形分为钝角三角形,锐角三角形两种情况分别证明.
点评:本题考查了三角形外接圆性质的运用.根据已知条件将三角形分类,运用特殊不等式解题.
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