Question

【题目】在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，F为射线AE上一点（不与点E重合），且FD⊥BC于D；

（1）如果点F与点A重合，且∠C=50°，∠B=30°，如图1，求∠EFD的度数；

（2）如果点F在线段AE上（不与点A重合），如图2，问∠EFD与∠C﹣∠B有怎样的数量关系？并说明理由．

（3）如果点F在△ABC外部，如图3，此时∠EFD与∠C﹣∠B的数量关系是否会发生变化？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）10°．（2）∠EFD=（∠C﹣∠B），证明见解析；（3∠EFD=（∠C﹣∠B）．）

【解析】

（1）由三角形内角和定理先求出∠BAC=100°，再根据AE平分∠BAC，可得∠BAE=50°，根据三角形的外角性质可得∠AEC=80°，再根据直角三角形两锐角互余即可求得∠EFD的度数；

（2）根据三角形的外角的性质可以得到∠FEC=∠B+∠BAE，然后根据三角形内角和定理以及角平分线的定义得到∠BAE=∠BAC=（180°-∠B-∠C）=90°-（∠B+∠C），求得∠FEC，再根据直角三角形的两个锐角互余求得∠EFD的度数；

（3）根据（2）可以得到∠AEC=90°+（∠B-∠C），根据对顶角相等即可求得∠DEF，然后利用直角三角形的两个锐角互余即可求解．

（1）∵∠C=50°，∠B=30°，

∴∠BAC=180°﹣50°﹣30°=100°．

∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE=50°，

∴∠AEC=∠B+∠BAE=80°，

在Rt△ADE中，∠EFD=90°﹣80°=10°；

（2）∠EFD=（∠C﹣∠B），理由如下：

∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE=（180°-∠B-∠C）=90°﹣（∠C+∠B），

∵∠AEC为△ABE的外角，

∴∠AEC=∠B+90°﹣（∠C+∠B）=90°+（∠B﹣∠C），

∵FD⊥BC，

∴∠FDE=90°，

∴∠EFD=90°﹣90°﹣（∠B﹣∠C），

∴∠EFD=（∠C﹣∠B）；

（3）∠EFD=（∠C﹣∠B），理由如下：

如图，

∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE=（180°-∠B-∠C），

∵∠DEF为△ABE的外角，

∴∠DEF=∠B+（180°-∠B-∠C）=90°+（∠B﹣∠C），

∵FD⊥BC，

∴∠FDE=90°，

∴∠EFD=90°﹣90°﹣（∠B﹣∠C）

∴∠EFD=（∠C﹣∠B）．