题目内容

如图AB是⊙O的直径,AP是⊙O的切线,A是切点,BP与⊙O交于点C.
(1)若AB=2,∠P=30°,求AP的长;
(2)若D为AP的中点,求证:直线CD是⊙O的切线.
(1)∵AB是⊙O的直径,AP是⊙O的切线,
∴AB⊥AP,
∴∠BAP=90°;
又∵AB=2,∠P=30°,
∴AP=
AB
tan∠P
=
2
3
3
=2
3
,即AP=2
3


(2)证明:如图,连接OC,OD、AC.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°(直径所对的圆周角是直角),
∴∠ACP=90°;
又∵D为AP的中点,
∴AD=CD(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半);
在△OAD和△OCD中,
OA=OC
OD=OD(公共边)
AD=CD

∴△OAD≌△OCD(SSS),
∴∠OAD=∠OCD(全等三角形的对应角相等);
又∵AP是⊙O的切线,A是切点,
∴AB⊥AP,
∴∠OAD=90°,
∴∠OCD=90°,即直线CD是⊙O的切线.
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