题目内容
如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCO的点A、C分别在x轴、y轴上，点B坐标为（6，6）连接AC．抛物线y=x2+bx+c经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式．
（2）若动点E从原点出发，以每秒一个单位的速度，沿折线O-C-B-A做匀速运动，同时点F从原点出发，以相同的速度向x正半轴方向做匀速运动，过点E作ED⊥x轴于点D，当点E停止运动时，点F也停止运动．设△EFD的面积为S，运动时间为x（0＜x＜18），试写出S与x的函数关系式，并求出S的最大值．
（3）P是直线AC上的点，在抛物线上是否存在点Q，使以0、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）根据正方形的性质得到B（6，6），C（0，6），把它们分别代入抛物线y=x2+bx+c，借用方程组求得b=-6，c=6，则抛物线y=x2-6x+6；
（2）需要分三种情况考虑：
①当0＜x≤6时，S=
OE•OF=
x2；
②6＜x＜12时，S=
×6×6=18；
③当12≤x＜18时，S=
（18-x）（x-6）=-
x2+12x-54；
（3）需要分类讨论：以OC为菱形的边和以OC为菱形的对角线两种情况进行求解．
（2）需要分三种情况考虑：
①当0＜x≤6时，S=
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②6＜x＜12时，S=
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③当12≤x＜18时，S=
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（3）需要分类讨论：以OC为菱形的边和以OC为菱形的对角线两种情况进行求解．
解答：
解：（1）∵点B坐标为（6，6），四边形ABCO为正方形，
∴点C（0，6）
∴把B（6，6），C（0，6）分别代入抛物线y=x2+bx+c，得
，
解得：
，
∴抛物线y=x2-6x+6；
（2）当0＜x≤6时，S=
OE•OF=
x2，此种情况x=6时，S有最大值为18；
当6＜x＜12时，S=
×6×6=18，此种情况S的值恒为18；
当12≤x＜18时，S=
（18-x）（x-6）=-
x2+12x-54；
此种情况，S与x为二次函数关系，抛物线开口向下，对称轴x=12，在12≤x＜18范围内，S随x的增大而减小．所以x=12时，S值最大为18．
综合上述三种情况，S最大值为18；
（3）存在． Q（6，6）．
补充：
①当OC为边时，根据题意知，当点P与点A重合，点Q与点B重合时，四边形PQCO，即四边形ABCO是正方形，符合题意，此时Q（6，6）；
②当以OC为对角线时，PQ与线段OC垂直平分，如图所示，此时不存在符合条件的菱形．
综上所述，Q（6，6）．
解：（1）∵点B坐标为（6，6），四边形ABCO为正方形，∴点C（0，6）
∴把B（6，6），C（0，6）分别代入抛物线y=x2+bx+c，得
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解得：
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∴抛物线y=x2-6x+6；
（2）当0＜x≤6时，S=
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当6＜x＜12时，S=
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当12≤x＜18时，S=
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此种情况，S与x为二次函数关系，抛物线开口向下，对称轴x=12，在12≤x＜18范围内，S随x的增大而减小．所以x=12时，S值最大为18．
综合上述三种情况，S最大值为18；
（3）存在． Q（6，6）．
补充：
①当OC为边时，根据题意知，当点P与点A重合，点Q与点B重合时，四边形PQCO，即四边形ABCO是正方形，符合题意，此时Q（6，6）；
②当以OC为对角线时，PQ与线段OC垂直平分，如图所示，此时不存在符合条件的菱形．
综上所述，Q（6，6）．
点评：本题综合考查了待定系数法求抛物线解析式，二次函数的性质、直角三角形和菱形的判定方法，同时也考查了数形结合、分类讨论和方程函数的数学思想．本题第3问要从0、C、P、Q四个点中的不动点O、C为突破口，线段OC可能是菱形的边长，也可能为菱形的对角线，进行分类讨论．
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