题目内容

如图1，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CD切⊙O于点C，AD⊥CD，垂足为D．
（1）求证：AC2=AB•AD；
（2）若将直线CD向上平移，交⊙O于C1、C2两点，其它条件不变，可得到图2所示的图形，试探索AC1、AC2、AB、AD之间的关系，并说明理由；
（3）把直线C1D继续向上平移，使弦C1C2与直径AB相交（交点不与A、B重合），其它条件不变，请你在图3中画出变化后的图形，标好相应字母，并试着写出与（2）相应的结论，判断你的结论是否成立？若不成立，请说明理由；若成立，请给出证明．
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分析：（1）连接BC，根据两个角对应相等证明△ACD∽△ABC即可；
（2）根据（1）的思路，只需把四条线段放到两个三角形△ADC2和△AC1B中，证明两个三角形相似，即可得到线段之间的关系；
（3）画出正确图形后，同样把线段放到两个三角形中，通过证明三角形相似得到结论．
解答：精英家教网（1）证明：连接BC，
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°（1分）
∵AD⊥CD
∴∠ADC=90°
∴∠ACB=∠ADC（2分）
又∵CD切⊙O于C
∴∠ACD=∠B
∴△ACD∽△ABC（3分）
∴
AB
AC
=
AC
AD

∴AC2=AB•AD；（4分）

（2）解：关系：AC1•AC2=AB•AD．（5分）精英家教网
理由是：连接BC1，
∵四边形ABC1C2是圆内接四边形
∴∠AC2D=∠B（6分）
同（1）有∠ADC2=∠AC1B
∴△ADC2∽△AC1B（7分）
∴
AB
AC2
=
AC1
AD

∴AC1•AC2=AB•AD；（8分）

（3）解：如右图，（9分）精英家教网
结论是：AC1•AC2=AB•AD，
证明：连接BC1，
同（1）有∠ADC2=∠AC1B
又∵∠C2=∠B（10分）
∴△ADC2∽△AC1B（11分）
∴
AB
AC2
=
AC1
AD

∴AC1•AC2=AB•AD．（12分）
点评：综合运用了圆周角定理及其推论和弦切角定理，掌握相似三角形的判定和性质．注意解决一题多变的方法，思路一般大体相同．
练习册系列答案
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34、关于图形变化的探讨：
（1）①例题1．如图1，AB是⊙O的直径，直线l与⊙O有一个公共点C，过A、B分别作l的垂线，垂足为E、F，则EC=CF．
②上题中，当直线l向上平行移动时，与⊙O有了两个交点C1、C2，其它条件不变，如图2，经过推证，我们会得到与原题相应的结论：EC1=C2F．
③把直线1继续向上平行移动，使弦C1C2与AB交于点P（P不与A，B重合）．在其它条件不变的情况下，请你在图3的圆中将变化后的图形画出来，标好对应的字母，并写出与①②相应的结论等式．判断你写的结论是否成立，若不成立，说明理由，若成立，给以证明．结论
EC1=C2F
．证明结论成立或说明不成立的理由
（2）①例题2．如图4，BC是⊙O的直径．直线1是过C点的切线．N是⊙O上一点，直线BN交1于点M．过N点的切线交1于点P，则PM2=PC2．
②把例题2中的直线1向上平行移动，使之与⊙O相交，且与直线BN交于B、N两点之间．其它条件仍然不变，请你利用图5的圆把变化后的图形画出来，标好相应的字母，并写出与①相应的结论等积式，判断你写的结论是否成立，若不成立，说明理由，若成立，给以证明．结论
PM2=PC1•PC2
．证明结论成立或说明不成立的理由：
（3）总结：请你通过（1）、（2）的事实，用简练的语言，总结出某些几何图形的一个变化规律
在某些几何图形中，平行移动某条直线，有些几何关系保持不变．
．
如图1，AB是⊙O的直径，直线l交⊙O于C1、C2，AD⊥l，垂足为D．
（1）求证：AC1•AC2=AB•AD．
（2）若将直线l向上平移（如图2），交⊙O于C1、C2，使弦C1C2与直径AB相交（交点不与A、B重合），其他条件不变，请你猜想，AC1、AC2、AB、AD之间的关系，并说明理由．
（3）若将直线l平移到与⊙O相切时，切点为C，其他条件不变，请你在图3上画出变化后的图形，标好相应的字母并猜想AC、AB、AD的关系是什么？（只写出关系，不加以说明）精英家教网
如图，若AB是⊙0的直径，CD是⊙O的弦，∠C=30°，BD=1，则⊙O的半径是（　　）
（2013•海沧区一模）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=50°，则∠BCD=
40°
40°
．
如图，弦AB是⊙O的内接正方形的一条边，则弦AB所对的圆周角的度数为
45°或135°
45°或135°
．

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