题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,平行四边形OABC的顶点A,B的坐标分别为(6,0),(7,3),将平行四边形OABC绕点O逆时针方向旋转得到平行四边形OA′B′C′,当点C′落在BC的延长线上时,线段OA′交BC于点E,则线段C′E的长度为________

【答案】5.

【解析】如图,过点C作CD⊥OC′于点D.利用旋转的性质和面积法求得OD=,然后通过解直角三角形推知:tan∠COC′=.结合图形和旋转的性质得到∠COC′=∠AOE,自点E向x轴引垂线,交x轴于点F.则EF=3.利用等角的正切值相等tan∠AOE=tan∠COC′=.易求OF的长度,则C′E=O′E+O′C=4+1=5.

解:∵OC=OC′,CC′⊥y轴,A,B的坐标分别为(6,0),(7,3),

∴点C到y轴的距离:7-6=1.

∴O′C=O′C′=1,O点到CC′的距离是3,

∴OD=DC′=,S△OCC′=×2×3=3.

如图,过点C作CD⊥OC′于点D.

ODC′D=3,

∴OD=,sin∠COC′=,tan∠COC′=

∵∠COC′+∠COE=∠AOE+∠COE,

∴∠COC′=∠AOE,

∴tan∠AOE=tan∠COC′=

自点E向x轴引垂线,交x轴于点F.则EF=3.

∵tan∠AOE=

∴OF=

∵OF=O′E=4,

∴C′E=O′E+O′C′=4+1=5.

故答案是:5.

“点睛”本题考查了平行四边形的性质和旋转的性质.根据题意作出辅助线是解题的关键与难点.

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