题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,平行四边形OABC的顶点A,B的坐标分别为(6,0),(7,3),将平行四边形OABC绕点O逆时针方向旋转得到平行四边形OA′B′C′,当点C′落在BC的延长线上时,线段OA′交BC于点E,则线段C′E的长度为________.
【答案】5.
【解析】如图,过点C作CD⊥OC′于点D.利用旋转的性质和面积法求得OD=,然后通过解直角三角形推知:tan∠COC′=
.结合图形和旋转的性质得到∠COC′=∠AOE,自点E向x轴引垂线,交x轴于点F.则EF=3.利用等角的正切值相等tan∠AOE=tan∠COC′=
.易求OF的长度,则C′E=O′E+O′C=4+1=5.
解:∵OC=OC′,CC′⊥y轴,A,B的坐标分别为(6,0),(7,3),
∴点C到y轴的距离:7-6=1.
∴O′C=O′C′=1,O点到CC′的距离是3,
∴OD=DC′=,S△OCC′=
×2×3=3.
如图,过点C作CD⊥OC′于点D.
则ODC′D=3,
∴OD=,sin∠COC′=
,tan∠COC′=
.
∵∠COC′+∠COE=∠AOE+∠COE,
∴∠COC′=∠AOE,
∴tan∠AOE=tan∠COC′=.
自点E向x轴引垂线,交x轴于点F.则EF=3.
∵tan∠AOE=,
∴OF=,
∵OF=O′E=4,
∴C′E=O′E+O′C′=4+1=5.
故答案是:5.
“点睛”本题考查了平行四边形的性质和旋转的性质.根据题意作出辅助线是解题的关键与难点.

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