题目内容

【题目】如图,抛物线y=ax2+bxA40),B13)两点,点CB关于抛物线的对称轴对称,过点B作直线BH⊥x轴,交x轴于点H

1)求抛物线的表达式;

2)直接写出点C的坐标,并求出△ABC的面积;

3)点P是抛物线上一动点,且位于第四象限,当△ABP的面积为6时,求出点P的坐标;

4)若点M在直线BH上运动,点Nx轴上运动,当以点CMN为顶点的三角形为等腰直角三角形时,请直接写出此时△CMN的面积.

【答案】1y=﹣x2+4x;(2)(33);3;(3)(5﹣5);(42.514.5175

【解析】试题分析:(1)利用待定系数法求二次函数的表达式;(2)根据二次函数的对称轴x=2写出点C的坐标为(33),根据面积公式求△ABC的面积;(3)因为点P是抛物线上一动点,且位于第四象限,设出点P的坐标(m﹣m2+4m),利用差表示△ABP的面积,列式计算求出m的值,写出点P的坐标;(4)分别以点CMN为直角顶点分三类进行讨论,利用全等三角形和勾股定理求CMCN的长,利用面积公式进行计算.

试题解析:(1)把点A40),B13)代入抛物线y=ax2+bx中,

解得:

抛物线表达式为:y=﹣x2+4x

2)点C的坐标为(33),

B的坐标为(13),

∴BC=2

SABC=×2×3=3

3)过P点作PD⊥BHBH于点D

设点Pm﹣m2+4m),

根据题意,得:BH=AH=3HD=m2﹣4mPD=m﹣1

∴SABP=SABH+S四边形HAPD﹣SBPD

6=×3×3+3+m﹣1)(m2﹣4mm﹣1)(3+m2﹣4m),

∴3m2﹣15m=0

m1=0(舍去),m2=5

P坐标为(5﹣5).

4)以点CMN为顶点的三角形为等腰直角三角形时,分三类情况讨论:

以点M为直角顶点且Mx轴上方时,如图2CM=MN∠CMN=90°

△CBM≌△MHN

∴BC=MH=2BM=HN=3﹣2=1

∴M12),N20),

由勾股定理得:MC=

SCMN=××=

以点M为直角顶点且Mx轴下方时,如图3,作辅助线,构建如图所示的两直角三角形:Rt△NEMRt△MDC

Rt△NEM≌Rt△MDC

∴EM=CD=5MD=ME=2

由勾股定理得:CM==

SCMN=××=

以点N为直角顶点且Ny轴左侧时,如图4CN=MN∠MNC=90°,作辅助线,

同理得:CN==

SCMN=××=17

以点N为直角顶点且Ny轴右侧时,作辅助线,如图5,同理得:CN==

SCMN=××=5

C为直角顶点时,不能构成满足条件的等腰直角三角形;

综上所述:CMN的面积为: 175

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