题目内容

【题目】若二次函数 的图像记为 ，其顶点为 ，二次函数 的图像记为 ，其顶点为 ，且满足点 在 上，点 在 上，则称这两个二次函数互为“伴侣二次函数”．

（1）写出二次函数 的一个“伴侣二次函数”；
（2）设二次函数 与 轴的交点为 ，求以点 为顶点的二次函数 的“伴侣二次函数”；
（3）若二次函数 与其“伴侣二次函数”的顶点不重合，试求该“伴侣二次函数”的二次项系数.

【答案】
（1）解：∵y=x2，

∴顶点坐标为（0，0）且经过点（2，4）．设以（2，4）为顶点且经过（0，0）的抛物线的函数关系式为y=a（x-2）2+4，将x=0，y=0代入y=a（x-2）2+4，解得a=-1．

∴二次函数y=x2的一个“伴侣二次函数”为y=-（x-2）2+4


（2）解：令x=0，则y=x2-2x+3=3，所以二次函数y=x2-2x+3与y轴的交点P坐标为（0，3）；

∵y=x2-2x+3=（x-1）2+2，

∴顶点坐标为（1，2）．设以（0，3）为顶点且经过（1，2）的抛物线的函数关系式为y=ax2+3，将x=1，y=2代入y=ax2+3，解得a=-1．

∴以点P为顶点的二次函数y=x2-2x+3的“伴侣二次函数”为y=-x2+3


（3）解：y=2x2-1，其顶点为（0，-1），y=a2（x+h）2+k，其顶点为（-h，k），

∵二次函数y1=a1x2+b1x+c1与其伴侣二次函数y2=a2x2+b2x+c2的顶点不重合，

∴h≠0时k≠-1，根据“伴侣二次函数”定义可得-1=ah2+k，k=2h2-1，

∴ah2=-2h2∴a=-2，

∴该“伴侣二次函数”的二次项系数为-2


【解析】（1）由“伴侣二次函数”的定义，得到y=x2的顶点坐标为（0，0）且经过点（2，4）；设以（2，4）为顶点且经过（0，0）的抛物线的函数关系式为y=a（x-2）2+4，将x=0，y=0代入y=a（x-2）2+4，解得a=-1；得到二次函数y=x2的一个“伴侣二次函数”为y=-（x-2）2+4；（2）由二次函数y=x2-2x+3与y轴的交点P坐标为（0，3），再由顶点式得到顶点坐标为（1，2），得到以点P为顶点的二次函数y=x2-2x+3的“伴侣二次函数”为y=-x2+3；（3）由y=2x2-1的顶点坐标为（0，-1），y=a2（x+h）2+k，其顶点坐标为（-h，k），根据二次函数y1=a1x2+b1x+c1与其伴侣二次函数y2=a2x2+b2x+c2的顶点不重合，得到h≠0时k≠-1，根据“伴侣二次函数”定义可得-1=ah2+k，k=2h2-1，得到ah2=-2h2，求出a的值，得到该“伴侣二次函数”的二次项系数.

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