题目内容

【题目】如图,AB是半圆O的直径,点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点,延长BP到点C,使PC=PB,D是AC的中点,连接PD、PO.
(1)求证:△CDP≌△POB;
(2)填空: ①若AB=4,则四边形AOPD的最大面积为
②连接OD,当∠PBA的度数为时,四边形BPDO是菱形.

【答案】
(1)证明:∵PC=PB,D是AC的中点,

∴DP∥AB,

∴DP= AB,∠CPD=∠PBO,

∵BO= AB,

∴DP=BO,

在△CDP与△POB中,

∴△CDP≌△POB(SAS);


(2)4;60°
【解析】(2)解:①当四边形AOPD的AO边上的高等于半径时有最大面积, (4÷2)×(4÷2)
=2×2
=4;②如图:

∵DP∥AB,DP=BO,
∴四边形BPDO是平行四边形,
∵四边形BPDO是菱形,
∴PB=BO,
∵PO=BO,
∴PB=BO=PO,
∴△PBO是等边三角形,
∴∠PBA的度数为60°.
故答案为:4;60°.
(1)根据中位线的性质得到DP∥AB,DP= AB,由SAS可证△CDP≌△POB;(2)①当四边形AOPD的AO边上的高等于半径时有最大面积,依此即可求解;②根据有一组对应边平行且相等的四边形是平行四边形,可得四边形BPDO是平行四边形,再根据邻边相等的平行四边形是菱形,以及等边三角形的判定和性质即可求解.

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