Question

【题目】如图1，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED．

（1）探究猜想：
①若∠A=35°，∠D=30°，则∠AED等于多少度？
②若∠A=48°，∠D=32°，则∠AED等于多少度？
③猜想图1中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系并证明你的结论．
（2）拓展应用：
如图2，射线EF与长方形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，①②③④分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界，其中区域③、④位于直线AB上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系（不要求写出证明过程）

Answer 1

【答案】
（1）解：①如图①，过点E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF，

∵∠A=35°，∠D=30°，

∴∠1=∠A=35°，∠2=∠D=30°，

∴∠AED=∠1+∠2=65°；

②过点E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF，

∵∠A=48°，∠D=32°，

∴∠1=∠A=48°，∠2=∠D=32°，

∴∠AED=∠1+∠2=80°；

③猜想：∠AED=∠EAB+∠EDC．

理由：过点E作EF∥CD，

∵AB∥DC∴EF∥AB（平行于同一条直线的两直线平行），

∴∠1=∠EAB，∠2=∠EDC（两直线平行，内错角相等），

∴∠AED=∠1+∠2=∠EAB+∠EDC（等量代换）．

（2）解：根据题意得：

点P在区域①时，∠EPF=360°﹣（∠PEB+∠PFC）；

点P在区域②时，∠EPF=∠PEB+∠PFC；

点P在区域③时，∠EPF=∠PEB﹣∠PFC；

点P在区域④时，∠EPF=∠PFC﹣∠PEB．

【解析】（1）①过点E作EF∥AB，依据平行公理的推理可得到AB∥CD∥EF，然后依据平行线的性质以及∠AED=∠1+∠2求解即可；②过点E作EF∥AB，同理可得到问题的答案；③过点E作EF∥CD，同理可得到问题的答案；
（2）分为点P分别位于①、②、③、④四个区域，然后再根据平行线的性质进行求解即可得到结论.
【考点精析】本题主要考查了平行线的判定与性质的相关知识点，需要掌握由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的判定；由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质才能正确解答此题．