Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r（r＞1），P是圆内与圆心C不重合的点，⊙C的“完美点”的定义如下：若直线CP与⊙C交于点A，B，满足|PA－PB|=2，则称点P为⊙C的“完美点”，如图为⊙C及其“完美点”P的示意图．

（1）当⊙O的半径为2时，

①点M（，0）　　⊙O的“完美点”，点N（0，1）　　⊙O的“完美点”，点T（－，－ ）　　⊙O的“完美点”（填“是”或者“不是”）；

②若⊙O的“完美点”P在直线y=x上，求PO的长及点P的坐标；

（2）⊙C的圆心在直线y=x+1上，半径为2，若y轴上存在⊙C的“完美点”，求圆心C的纵坐标t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）①点M不是⊙O的“完美点”，点N是⊙O的“完美点”．点T是⊙O的“完美点”．

②OP=1，点P的坐标为（， ）或（， ）．（2）1≤t≤1+ ．

【解析】解：（1）点M不是⊙O的“完美点”，

点N是⊙O的“完美点”．

点T是⊙O的“完美点”．

②根据题意，|PAPB|=2，

∴|OP+2（2OP）|=2∴OP=1．

若点P在第一象限内，作PQ⊥x轴于点Q，∵点P在直线上，OP=1，

∴OQ=，PQ=．∴P（， ）．

若点P在第三象限内，根据对称性可知其坐标为（ ， ）．

综上所述，PO的长为1，点P的坐标为（， ）或（ ， ）．

（2）对于⊙C的任意一个“完美点”P都有|PA﹣PB|=2，

∴|CP+2（2CP）|=2．∴CP=1．

∴对于任意的点P，满足CP=1，都有|CP+2（2CP）|=2，

∴|PA﹣PB|=2，故此时点P为⊙C的“完美点”．因此，⊙C的“完美点”是以点C为圆心，1为半径的圆．

设直线与y轴交于点D，当⊙C移动到与y轴相切且切点在点D的下方时，t的值最小．

设切点为E，连接CE，∵⊙C的圆心在直线y=x+1上，∴此直线和x轴，y轴的交点C（0，1），F（﹣，0），∴OF=，OD=1，∵CE∥OF，∴△DOF∽△DEC，∴，∴，∴DE=．t的最小值为1 ．当⊙C移动到与y轴相切且切点在点D的上方时，t的值最大．

同理可得t的最大值为1+．综上所述，t的取值范围为1 ≤t≤1+