Question

如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：
①△AED≌△AEF；②=；③△ABC的面积等于四边形AFBD的面积；
④BE²+DC²=DE² ⑤BE+DC=DE
其中正确的是

1. A.
   ①②④
2. B.
   ③④⑤
3. C.
   ①③④
4. D.
   ①③⑤

Answer 1

C
分析：①根据旋转的性质知∠CAD=∠BAF，AD=AF，因为∠BAC=90°，∠DAE=45°，所以∠CAD+∠BAE=45°，可得∠EAF=45°=∠DAE，由此即可证明△AEF≌△AED；
②当△ABE∽△ACD时，该比例式成立；
③根据旋转的性质，△ADC≌△ABF，进而得出△ABC的面积等于四边形AFBD的面积；
④据①知BF=CD，EF=DE，∠FBE=90°，根据勾股定理判断．
⑤根据①知道△AEF≌△AED，得CD=BF，DE=EF；由此即可确定该说法是否正确；
解答：解：①根据旋转的性质知∠CAD=∠BAF，AD=AF，
∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，
∴∠CAD+∠BAE=45°．
∴∠EAF=45°，
∴△AED≌△AEF；
故本选项正确；
②∵AB=AC，
∴∠ABE=∠ACD；
∴当∠BAE=∠CAD时，
△ABE∽△ACD，
∴=；
当∠BAE≠∠CAD时，
△ABE与△ACD不相似，即≠；
∴此比例式不一定成立；
故本选项错误；
③根据旋转的性质知△ADC≌△AFB，
∴S_△ABC=S_△ABD+S_△ABF=S_{四边形AFBD}，即三角形ABC的面积等于四边形AFBD的面积；
故本选项正确；
④∵∠FBE=45°+45°=90°，
∴BE²+BF²=EF²，
∵△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，
∴△AFB≌△ADC，
∴BF=CD，
又∵EF=DE，
∴BE²+DC²=DE²，
故本选项正确；
⑤根据①知道△AEF≌△AED，得CD=BF，DE=EF，
∴BE+DC=BE+BF＞DE=EF，即BE+DC＞DE，
故本选项错误；
综上所述，正确的说法是①③④；
故选C．
点评：此题主要考查了图形的旋转变换以及全等三角形的判定等知识，解题时注意旋转前后对应的相等关系．